Calcule, em radianos, a medida angular entre u e v.
(a) u=(1,0,1), v=(-2,10,2)
(b) u=(3,3,0), v=(2,1,-2)
© u=(-1,1,1), v=(1,1,1)
(d) u=(raiz32, 12, 0), v=(raiz32, 12, raiz3)
(e) u=(300,300,0), v=(-2000,-1000,2000)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício sobre encontrar a medida angular entre dois vetores no espaço. Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, a gente vai precisar usar o produto escalar e as magnitudes dos vetores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto escalar. Se tivermos dois vetores, u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz e cos(theta) = u cdot v|u| |v| , o produto escalar é dado por:
Ele ajuda a gente a encontrar o ângulo entre os vetores usando a fórmula:
Onde e são as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular a medida angular para cada parte do exercício.

Parte (a)

u cdot v = (1)(-2) + (0)(10) + (1)(2) = -2 + 0 + 2 = 0 e |u| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Produto Escalar:
|v| = raiz(-2)^2 + 10^2 + 2^2 = raiz4 + 100 + 4 = raiz108 = 6raiz3
Magnitudes:
cos(theta) = 0raiz2 times 6raiz3 = 0
theta = arccos(0) = pi2 radianos
Cálculo do Ângulo:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Temos dois vetores no plano: e . A gente vai seguir o mesmo processo de antes.

Passo 5

Produto Escalar:
u cdot v = (3)(2) + (3)(1) + (0)(-2) = 6 + 3 + 0 = 9
Magnitudes:
|u| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 + 0 = raiz18 = 3raiz2
|v| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Cálculo do Ângulo:
cos(theta) = 93raiz2 times 3 = 99raiz2 = 1raiz2
theta = arccos(1raiz2) = pi4 radianos

Passo 6

Vamos para a parte ©. Temos os vetores e .

Passo 7

Produto Escalar:
u cdot v = (-1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1
Magnitudes:
|u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Cálculo do Ângulo:
cos(theta) = 1raiz3 times raiz3 = 13
theta = arccos(13) approx 1.23096 radianos

Passo 8

Agora, vamos para a parte (d). Os vetores são e .

Passo 9

Produto Escalar:
u cdot v = (raiz32)(raiz32) + (12)(12) + (0)(raiz3) = 34 + 14 + 0 = 1
Magnitudes:
|u| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + 0^2 = raiz34 + 14 + 0 = raiz1 = 1
|v| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + (raiz3)^2 = raiz34 + 14 + 3 = raiz4 = 2
Cálculo do Ângulo:
cos(theta) = 11 times 2 = 12
theta = arccos(12) = pi3 radianos

Passo 10

Finalmente, vamos para a parte (e). Temos os vetores e .

Passo 11

Produto Escalar:
u cdot v = (300)(-2000) + (300)(-1000) + (0)(2000) = -600000 -300000 + 0 = -900000
Magnitudes:
|u| = raiz300^2 + 300^2 + 0^2 = raiz90000 + 90000 + 0 = raiz180000 = 300raiz2
|v| = raiz(-2000)^2 + (-1000)^2 + 2000^2 = raiz4,000,000 + 1,000,000 + 4,000,000 = raiz9,000,000 = 3000
Cálculo do Ângulo:
cos(theta) = -900000300raiz2 times 3000 = -900000900,000raiz2 = -1raiz2
theta = arccos(-1raiz2) = 3pi4 radianos

Resposta

Para a parte (e), a medida angular entre e é radianos.

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