Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em .
f) em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetores normais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na superfície dada pela função . Substituindo e :
Então, o ponto está sim na superfície. Isso é importante para continuarmos.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas vão nos ajudar a determinar a inclinação da superfície nos eixos e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico :
Esses valores representam as inclinações da superfície nas direções e no ponto dado.
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Essa é a equação do plano tangente.
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos saber a direção dessa reta. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e, portanto, tem a mesma direção do vetor normal ao plano. O vetor normal pode ser obtido a partir das derivadas parciais:
Passo 7
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente à função no ponto é:
E a equação paramétrica da reta normal nesse ponto é: