Para cada um dos itens abaixo construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de lim t infty y(t)=infty. Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
a) linear ( resolva a EDO usando o método dos fatores integrantes)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para construir uma equação diferencial de primeira ordem, do tipo linear, de forma que todas as suas soluções cresçam sem limites quando o tempo vai para o infinito, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dydt + P(t) y = Q(t)
Nesse caso, a nossa tarefa é escolher funções e de modo que as soluções da equação tenham a propriedade de crescer para o infinito quando tende para infinity.

Passo 3

Vamos fazer uma escolha simples para dydt + a y = b e . Vamos assumir que , onde é uma constante positiva, e , também uma constante positiva. Assim, nossa equação fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos fatores integrantes. Primeiro, calculamos o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral a dt = e^a t

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^a t dydt + a e^a t y = b e^a t

Passo 6

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddt ( y cdot e^a t ) = b e^a t . Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a y cdot e^a t = integral b e^a t dt + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

A integral do lado direito é:
integral b e^a t dt = ba e^a t + C
Então, temos:
y cdot e^a t = ba e^a t + C

Passo 9

Agora, vamos resolver para y = ba + C e^-a t :

Passo 10

Para analisar o comportamento das soluções quando limt infty y(t) = limt infty ( ba + C e^-a t ) = ba + 0 = ba tende para infinito, olhamos para:

Passo 11

Aqui percebemos que, na verdade, a solução tende para , que é um valor constante, e não para o infinito. Isso significa que precisamos ajustar nossa escolha de e para garantir que cresça sem limites.

Passo 12

Vamos alterar dydt + a y = c e^a t para depender de de forma que a integral não seja limitada. Por exemplo, vamos escolher , onde é uma constante positiva. Assim, a equação fica:

Passo 13

Aplicando novamente o método dos fatores integrantes:
mu(t) = e^a t
Multiplicando a equação:
e^a t dydt + a e^a t y = c e^2 a t

Passo 14

Reescrevendo o lado esquerdo:
ddt ( y cdot e^a t ) = c e^2 a t
Integrando ambos os lados:
y cdot e^a t = c2 a e^2 a t + C

Passo 15

Resolvendo para y = c2 a e^a t + C e^-a t :

Passo 16

Agora, analisando o limite quando limt infty y(t) = limt infty ( c2 a e^a t + C e^-a t ) = infty + 0 = infty tende para infinito:

Resposta

Construímos a equação diferencial . Sua solução geral é . De fato, todas as soluções satisfazem .

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