Para cada um dos itens abaixo construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de
. Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
a) linear ( resolva a EDO usando o método dos fatores integrantes)
a) linear ( resolva a EDO usando o método dos fatores integrantes)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para construir uma equação diferencial de primeira ordem, do tipo linear, de forma que todas as suas soluções cresçam sem limites quando o tempo
vai para o infinito, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Nesse caso, a nossa tarefa é escolher funções
e
de modo que as soluções da equação tenham a propriedade de crescer para o infinito quando
tende para infinity.
Passo 3
Vamos fazer uma escolha simples para
e
. Vamos assumir que
, onde
é uma constante positiva, e
, também uma constante positiva. Assim, nossa equação fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método dos fatores integrantes. Primeiro, calculamos o fator integrante, que é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 6
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos resolver para
:
Passo 10
Para analisar o comportamento das soluções quando
tende para infinito, olhamos para:
Passo 11
Aqui percebemos que, na verdade, a solução tende para
, que é um valor constante, e não para o infinito. Isso significa que precisamos ajustar nossa escolha de
e
para garantir que
cresça sem limites.
Passo 12
Vamos alterar
para depender de
de forma que a integral não seja limitada. Por exemplo, vamos escolher
, onde
é uma constante positiva. Assim, a equação fica:
Passo 13
Aplicando novamente o método dos fatores integrantes:
Multiplicando a equação:
Passo 14
Reescrevendo o lado esquerdo:
Integrando ambos os lados:
Passo 15
Resolvendo para
:
Passo 16
Agora, analisando o limite quando
tende para infinito:
Resposta
Construímos a equação diferencial
. Sua solução geral é
. De fato, todas as soluções satisfazem
.