Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em
.
a)
em
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e queremos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal nesse ponto específico
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está realmente na superfície definida por
. Substituindo
e
na equação:
Então, o ponto está na superfície, tudo certo!
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a
e
. Vamos calcular:
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções
e
respectivamente.
Passo 5
A equação do plano tangente em
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a reta normal ao ponto
. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e tem a direção do vetor normal ao plano.
O vetor normal ao plano tangente é dado por
:
Passo 8
A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita usando o ponto
e o vetor
:
Resposta
A equação do plano tangente é
e a equação paramétrica da reta normal é: