Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em (x0, y0).
a) z = x^2 + y^2 em 3, 4, 25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e queremos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal nesse ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente na superfície definida por . Substituindo e na equação:
Então, o ponto está na superfície, tudo certo!

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e . Vamos calcular:
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções e respectivamente.

Passo 5

A equação do plano tangente em é dada por:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a reta normal ao ponto . A reta normal é perpendicular ao plano tangente e tem a direção do vetor normal ao plano.
O vetor normal ao plano tangente é dado por :

Passo 8

A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita usando o ponto e o vetor :

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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