Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em .
I)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal da função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para determinar as inclinações do plano e da reta normal. Bora começar!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou, de forma mais organizada:
Passo 6
Para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é formado pelas derivadas parciais :
A equação paramétrica da reta normal passando por é:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: