Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em (x0, y0).
I) z = x * e^(x+y) * m(1,1, f(1,1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a equação do plano tangente e da reta normal da função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para determinar as inclinações do plano e da reta normal. Bora começar!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ou, de forma mais organizada:

Passo 6

Para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é formado pelas derivadas parciais :
A equação paramétrica da reta normal passando por é:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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