Considere a função z = e^(3y) * sen(3x). Determine a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de z = f(x, y) no ponto (pi/6, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem a função e precisa encontrar duas coisas:
  1. A equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto .
  2. As equações paramétricas da reta normal a esse gráfico no mesmo ponto.
Para fazer isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar as inclinações da superfície naquela posição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. O plano tangente a uma superfície no ponto é uma aproximação linear dessa superfície perto desse ponto. Para encontrar sua equação, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de no ponto dado para termos o ponto completo no espaço tridimensional:
Então, o ponto no espaço é .

Passo 6

Com as derivadas parciais e o ponto, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto . A reta normal tem como direção o vetor gradiente da função nesse ponto, que é . Porém, para simplificar, podemos usar os coeficientes das derivadas parciais:
O vetor normal é .

Passo 8

As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
Onde são as componentes do vetor direção da reta normal, que neste caso é . Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:
onde é o parâmetro real.

Exercícios relacionados