Considere a função . Determine a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem a função e precisa encontrar duas coisas:
A equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto .
As equações paramétricas da reta normal a esse gráfico no mesmo ponto.
Para fazer isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar as inclinações da superfície naquela posição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o plano tangente. O plano tangente a uma superfície no ponto é uma aproximação linear dessa superfície perto desse ponto. Para encontrar sua equação, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de no ponto dado para termos o ponto completo no espaço tridimensional:
Então, o ponto no espaço é .
Passo 6
Com as derivadas parciais e o ponto, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a reta normal ao gráfico no ponto . A reta normal tem como direção o vetor gradiente da função nesse ponto, que é . Porém, para simplificar, podemos usar os coeficientes das derivadas parciais:
O vetor normal é .
Passo 8
As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
Onde são as componentes do vetor direção da reta normal, que neste caso é . Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são: