Utilize coordenadas cilíndricas.
Determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide e a esfera . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância do ponto à origem é .

Passo 3

Vamos converter o paraboloide para coordenadas cilíndricas:
Agora, a equação da esfera fica:

Passo 4

Queremos encontrar os limites de integração. Para isso, vamos descobrir onde o paraboloide e a esfera se intersectam. Igualando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo essa equação quadrática em :
Isso dá (já que não pode ser negativo). Portanto, .

Passo 5

Agora sabemos que varia de 0 a 1. Para , ele varia do paraboloide até a esfera. Da equação da esfera em coordenadas cilíndricas:
Então, varia de a .

Passo 6

O ângulo em coordenadas cilíndricas varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .

Passo 7

Agora, podemos montar o integral triplo para calcular o volume:
Aqui, o na frente é o elemento do volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 8

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
A primeira integral pode ser resolvida por substituição, e a segunda é direta:
A primeira integral:
Fazendo , , então:
Avaliando de 0 a 1:
Então, o resultado da primeira integral é .

Passo 10

Juntando tudo:
Calculando a expressão dentro dos parênteses:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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