Utilize coordenadas cilíndricas.
Determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide
e a esfera
.
Determinar o volume do sólido que está entre o paraboloide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está entre o paraboloide
e a esfera
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a distância do ponto à origem é
.
Passo 3
Vamos converter o paraboloide
para coordenadas cilíndricas:
Agora, a equação da esfera
fica:
Passo 4
Queremos encontrar os limites de integração. Para isso, vamos descobrir onde o paraboloide e a esfera se intersectam. Igualando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo essa equação quadrática em
:
Isso dá
(já que
não pode ser negativo). Portanto,
.
Passo 5
Agora sabemos que
varia de 0 a 1. Para
, ele varia do paraboloide
até a esfera. Da equação da esfera em coordenadas cilíndricas:
Então,
varia de
a
.
Passo 6
O ângulo
em coordenadas cilíndricas varia de 0 a
para cobrir toda a volta ao redor do eixo
.
Passo 7
Agora, podemos montar o integral triplo para calcular o volume:
Aqui, o
na frente é o elemento do volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 8
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
A primeira integral pode ser resolvida por substituição, e a segunda é direta:
A primeira integral:
Fazendo
,
, então:
Avaliando de 0 a 1:
Então, o resultado da primeira integral é
.
Passo 10
Juntando tudo:
Calculando a expressão dentro dos parênteses:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.