Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
integral-2^2 integral-raiz4^2-x^2^raiz4^2-x^2 integral-raiz4^2-x^2-y^2^raiz4^2-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Isso envolve integrar uma função sobre uma região no espaço usando coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões com simetria radial. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: o raio x = r sin phi cos theta , o ângulo polar y = r sin phi sin theta (medido a partir do eixo z) e o ângulo azimutal z = r cos phi (medido no plano xy a partir do eixo x). As relações de conversão são:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que está sendo integrada em coordenadas esféricas. A função dada é (x^2 + y^2 + z^2)^3/2 = (r^2)^3/2 = r^3 . Substituindo pelas coordenadas esféricas:

Passo 4

Também precisamos transformar o volume diferencial dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta para coordenadas esféricas. O volume diferencial em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 5

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Observando os limites de 0 <= r <= 2 de -2 a 2, vemos que o raio máximo 0 <= phi <= pi será 2, já que 0 <= theta <= 2pi varia até 2 e . Portanto, os limites são:

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
integral-2^2 integral-raiz16 - x^2^raiz16 - x^2 integral-raiz16 - x^2 - y^2^raiz16 - x^2 - y^2 (x^2 + y^2 + z^2)^3/2 dz , dy , dx
transforma-se em:
integral0^2pi integral0^pi integral0^2 r^3 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Que simplifica para:
integral0^2pi integral0^pi integral0^2 r^5 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em integral0^2 r^5 , dr = [ r^66 ]0^2 = 646 = 323 primeiro:

Passo 8

Agora, integramos em integral0^pi sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi = (-cos pi) - (-cos 0) = 2 :

Passo 9

Por fim, integramos em integral0^2pi dtheta = 2pi :

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
323 times 2 times 2pi = 1283 pi
Portanto, a integral vale .

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