Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral tripla transformando para coordenadas esféricas. Isso envolve integrar uma função sobre uma região no espaço usando coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões com simetria radial. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: o raio
, o ângulo polar
(medido a partir do eixo z) e o ângulo azimutal
(medido no plano xy a partir do eixo x). As relações de conversão são:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que está sendo integrada em coordenadas esféricas. A função dada é
. Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Passo 4
Também precisamos transformar o volume diferencial
para coordenadas esféricas. O volume diferencial em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 5
Agora, vamos ajustar os limites de integração. Observando os limites de
de -2 a 2, vemos que o raio máximo
será 2, já que
varia até 2 e
. Portanto, os limites são:
Passo 6
Substituindo tudo na integral original:
transforma-se em:
Que simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Passo 9
Por fim, integramos em
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados:
Portanto, a integral vale
.