Determinar a equação das seguintes retas: A reta que passa por B = (3,2,1) e é perpendicular ao plano xOz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto $ B = (3, 2, 1) $ e que é perpendicular ao plano $ xOz $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como a relação entre retas e planos, e como determinar a equação de uma reta a partir de um ponto e de um vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser perpendicular a um plano. Uma reta perpendicular a um plano tem um vetor de direção que é normal ao plano, ou seja, perpendicular a todas as direções no plano. Para o plano $ xOz $, que é o plano onde $ y = 0 $, o vetor normal é $ \mathbf{n} = (0, 1, 0) $.
Passo 3
Agora que temos o vetor normal $ \mathbf{n} = (0, 1, 0) $, esse vetor será o vetor de direção da nossa reta, já que a reta é perpendicular ao plano $ xOz $. Então, o vetor de direção da reta é $ \mathbf{v} = (0, 1, 0) $.
Passo 4
Com o ponto $ B = (3, 2, 1) $ e o vetor de direção $ \mathbf{v} = (0, 1, 0) $, podemos escrever a equação paramétrica da reta. A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto pelo qual a reta passa e $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor de direção.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Simplificando, fica:
Resposta
A equação da reta é: