Determine o valor da integral ∬ s 2 e x 2 d x d y , com s = { ( x , y ) ∈ r 2 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaS 2e^x^2 , dx , dy, onde a região S é definida por S = (x, y) in R^2 mid 0 <= x <= y <= 1 e 0 <= y <= x. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como realizar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região S onde vamos calcular a integral. A definição dada é um pouco confusa, mas na verdade ela descreve todo o quadrado onde 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. Isso porque temos duas condições: 0 <= x <= y <= 1 e 0 <= y <= x <= 1, que juntas cobrem todo o quadrado de 0 a 1 em ambos os eixos.

Passo 3

Agora que sabemos que a região S é o quadrado [0,1] times [0,1], podemos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a y de 0 a 1, e depois em relação a x também de 0 a 1. Então, nossa integral dupla fica:
integral0^1 integral0^1 2e^x^2 , dy , dx

Passo 4

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a y. Note que 2e^x^2 não depende de y, então podemos tratar como uma constante durante essa integração. A integral de dy de 0 a 1 é simplesmente:
integral0^1 2e^x^2 , dy = 2e^x^2 cdot (1 - 0) = 2e^x^2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na nossa integral externa. Ficamos com:
integral0^1 2e^x^2 , dx
Essa é uma integral que envolve a função e^x^2, que não possui uma antiderivada elementar. Isso significa que não conseguimos expressar essa integral usando funções básicas, mas podemos relacioná-la com a função erro, conhecida como erf(x).

Passo 6

A função erro é definida por:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 , dt
No nosso caso, temos e^x^2 e não e^-x^2, mas podemos adaptar a expressão. Sabemos que:
integral e^x^2 , dx = raizpi2 , erfi(x) + C
Onde erfi(x) é a função erro imaginária. Porém, para nosso caso, estamos interessados no valor definido da integral de 0 a 1.

Passo 7

Portanto, a integral que precisamos calcular é:
2 integral0^1 e^x^2 , dx = 2 cdot raizpi2 , erfi(1) = raizpi , erfi(1)
Sabemos que erfi(1) approx 1.6504257588, então podemos calcular uma aproximação numérica.

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente $ \sqrt{\pi} \times 1.6504 \approx 2.923 $.

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