Determine o valor da integral ∬ s 2 e x 2 d x d y , com s = { ( x , y ) ∈ r 2 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x }
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e como realizar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos calcular a integral. A definição dada é um pouco confusa, mas na verdade ela descreve todo o quadrado onde
e
. Isso porque temos duas condições:
e
, que juntas cobrem todo o quadrado de 0 a 1 em ambos os eixos.
Passo 3
Agora que sabemos que a região
é o quadrado
, podemos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a
de 0 a 1, e depois em relação a
também de 0 a 1. Então, nossa integral dupla fica:
Passo 4
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a
. Note que
não depende de
, então podemos tratar como uma constante durante essa integração. A integral de
de 0 a 1 é simplesmente:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na nossa integral externa. Ficamos com:
Essa é uma integral que envolve a função
, que não possui uma antiderivada elementar. Isso significa que não conseguimos expressar essa integral usando funções básicas, mas podemos relacioná-la com a função erro, conhecida como
.
Passo 6
A função erro é definida por:
No nosso caso, temos
e não
, mas podemos adaptar a expressão. Sabemos que:
Onde
é a função erro imaginária. Porém, para nosso caso, estamos interessados no valor definido da integral de 0 a 1.
Passo 7
Portanto, a integral que precisamos calcular é:
Sabemos que
, então podemos calcular uma aproximação numérica.
Resposta
O valor da integral dupla é aproximadamente $ \sqrt{\pi} \times 1.6504 \approx 2.923 $.