Um peixe tenta ficar em repouso no meio de um rio com uma profundidade de h=2 m uma velocidade da correnteza de v=4 m / s. A velocidade da água no rio varia com a profundidade y(y) de acordo com a seguinte fórmula:
v(y)=v[1-(yh)^2] (equação 01) tau=mu d ud y( equação 02: Equação de Poiseuil<=) çãçãçã
Sabendo que o peixe está a uma profundidade de y=1,2 m (medida a partir do fundo do rio) e que a viscosidade dinâmica da água é mu=0,001 Pa cdot s, determine a tensão de cisalhamento que o peixe deve resistir nessa posição para permanecer em repouso.

Dados:

V=4 m / s,
h=2 m,
y=1,2 m,
mu=0,001 Pa cdot s
Resposta: 0,024 Pa

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um peixe tentando ficar parado no meio de um rio com profundidade h = 2, m e velocidade da correnteza V = 4, m/s. A velocidade da água varia com a profundidade y conforme a equação fornecida. Queremos determinar a tensão de cisalhamento tau que o peixe deve resistir quando está a uma profundidade de y = 1,2, m, sabendo que a viscosidade dinâmica da água é mu = 0,001, Pa cdot s. Vamos utilizar as Equações 01 e 02 para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da água na profundidade y = 1,2, m usando a Equação 01:
v(y) = V [1 - (yh)^2]
Substituindo os valores:
v(1,2) = 4 [1 - (1,22)^2] = 4 [1 - (0,6)^2] = 4 [1 - 0,36] = 4 times 0,64 = 2,56, m/s

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da velocidade em relação à profundidade, ou seja, dudy. Derivando a Equação 01 em relação a y:
dudy = V times (-2 yh^2)
Substituindo os valores:
dudy = 4 times (-2 times 1,22^2) = 4 times (-2 times 1,24) = 4 times (-0,6) = -2,4, s^-1

Passo 4

Por fim, utilizamos a Equação 02 para calcular a tensão de cisalhamento tau:
tau = mu dudy
Substituindo os valores:
tau = 0,001 times (-2,4) = -0,0024, Pa
Como a tensão de cisalhamento é uma grandeza escalar, consideramos o valor absoluto:
tau = 0,0024, Pa

Resposta

A tensão de cisalhamento que o peixe deve resistir é de 0,0024 Pa.

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