Determinar a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e reduzidas na variável x (caso existam!), que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
A=(1,-1,2) e B=(2,1,0)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica no espaço 3D. O objetivo é encontrar diferentes representações da reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos precisar usar conceitos como equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas de uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta se estende e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de AB = B - A = (2-1, 1-(-1), 0-2) = (1, 2, -2) e :

Passo 3

Com o vetor diretor r = A + t cdot d = 1 -1 2 + t 1 2 -2 e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos escrever a equação vetorial da reta:
Onde é um parâmetro real.

Passo 4

A partir da equação vetorial, podemos derivar as equações paramétricas da reta. Cada componente da equação vetorial corresponde a uma equação paramétrica:
x = 1 + t y = -1 + 2t z = 2 - 2t

Passo 5

Para encontrar as equações simétricas da reta, precisamos isolar o parâmetro t = x - 1 t = y + 12 t = 2 - z2 em cada uma das equações paramétricas:
x - 11 = y + 12 = 2 - z2
Igualando as expressões para :

Passo 6

Por fim, podemos expressar a reta em forma reduzida para a variável t = x - 1 . Isso significa isolar y = -1 + 2(x - 1) = 2x - 3 z = 2 - 2(x - 1) = 4 - 2x nas outras equações em termos de y = 2x - 3 z = 4 - 2x :
Substituindo nas equações para e :
Então, as equações reduzidas são:

Resposta

A reta que passa pelos pontos r = 1 -1 2 + t 1 2 -2 e x = 1 + t y = -1 + 2t z = 2 - 2t pode ser representada de várias formas:
  • Equação Vetorial:
x - 11 = y + 12 = 2 - z2
  • Equações Paramétricas:
y = 2x - 3 z = 4 - 2x
  • Equações Simétricas:
  • Equações Reduzidas na variável :

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