Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos e e verificar se os pontos e pertencem a reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos e . Depois, temos que verificar se os pontos e estão nessa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre equações de retas no formato vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor diretor da reta . Esse vetor indica a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, a equação vetorial da reta pode ser escrita usando um ponto da reta (vamos usar ) e o vetor diretor . A fórmula geral é:
Substituindo os valores, temos:
Onde é um parâmetro real que varia ao longo da reta.

Passo 4

Vamos verificar se o ponto está na reta . Para isso, substituímos as coordenadas de na equação vetorial e resolvemos para :
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos nas outras equações:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Como todas as equações são satisfeitas com , o ponto está na reta .

Passo 5

Agora, vamos verificar o ponto . Substituímos as coordenadas de na equação vetorial e resolvemos para :
Resolvendo a primeira equação:
Verificamos nas outras equações:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
ã
Como a terceira equaç��o não é satisfeita, o ponto não está na reta .

Resposta

A equação vetorial da reta é:
O ponto pertence à reta , enquanto o ponto não pertence à reta .

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