Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,-3,4) e B=(1,-1,2) e verificar se os pontos C(5 / 2,-4,5) e D(-1,3,4) pertencem a reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos e . Depois, temos que verificar se os pontos e estão nessa reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre equações de retas no formato vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor diretor da reta AB = B - A = (1 - 2,, -1 - (-3),, 2 - 4) = (-1,, 2,, -2) . Esse vetor indica a direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, a equação vetorial da reta r = A + td pode ser escrita usando um ponto da reta (vamos usar r = (2, -3, 4) + t(-1, 2, -2) ) e o vetor diretor . A fórmula geral é:
Substituindo os valores, temos:
Onde é um parâmetro real que varia ao longo da reta.

Passo 4

Vamos verificar se o ponto 2 - t = 52 -3 + 2t = -4 4 - 2t = 5 está na reta 2 - t = 52 implies t = 2 - 52 = -12 . Para isso, substituímos as coordenadas de -3 + 2(-12) = -3 -1 = -4 (confere) na equação vetorial e resolvemos para 4 - 2(-12) = 4 + 1 = 5 (confere) :
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos nas outras equações:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
Como todas as equações são satisfeitas com , o ponto está na reta .

Passo 5

Agora, vamos verificar o ponto 2 - t = -1 -3 + 2t = 3 4 - 2t = 4 . Substituímos as coordenadas de 2 - t = -1 implies t = 3 na equação vetorial e resolvemos para -3 + 2(3) = -3 + 6 = 3 (confere) :
4 - 2(3) = 4 - 6 = -2 neq 4 (não confere)
Resolvendo a primeira equação:
Verificamos nas outras equações:
Para a segunda equação:
Para a terceira equação:
ã
Como a terceira equaç��o não é satisfeita, o ponto não está na reta .

Resposta

A equação vetorial da reta r = (2, -3, 4) + t(-1, 2, -2), t in R é:
O ponto pertence à reta , enquanto o ponto não pertence à reta .

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