Determinar o valor de n para que o vetor v=(n, 25, 45) seja unitário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz com que o vetor seja um vetor unitário. Isso está relacionado ao conteúdo de geometria vetorial, mais especificamente à ideia de magnitude ou norma de um vetor. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular a magnitude de um vetor e igualá-la a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a magnitude de um vetor. A magnitude de um vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é dada pela fórmula:
No nosso caso, o vetor é , então substituímos os componentes na fórmula.

Passo 3

Calculando a magnitude do vetor |v| = raizn^2 + (25)^2 + (45)^2 :
|v| = raizn^2 + 425 + 1625 = raizn^2 + 2025
Vamos simplificar os termos dentro da raiz:
|v| = raizn^2 + 45
E simplificando mais:

Passo 4

Queremos que o vetor seja unitário, ou seja, que a magnitude seja igual a 1. Então, igualamos a expressão a 1:
raizn^2 + 45 = 1
Para resolver, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
n^2 + 45 = 1
Subtraindo n^2 = 1 - 45 = 15 de ambos os lados:
n = pm raiz15 = pm 1raiz5 = pm raiz55
Agora, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O valor de que torna o vetor unitário é .

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