Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(a)
e
.
(a)
e
Passo 1
No exercício, precisamos encontrar o cosseno do ângulo entre os planos
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, identificamos os vetores normais de cada plano. Para um plano da forma
, o vetor normal é dado por
. Então:
- Para
, o vetor normal é . - Para
, o vetor normal é .
Passo 3
O cosseno do ângulo
entre os dois planos é igual ao cosseno do ângulo entre seus vetores normais. A fórmula para isso é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores normais, e
representa a norma (ou comprimento) do vetor.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
Produto Escalar (
): -
Norma de
: -
Norma de
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
Resposta
O cosseno do ângulo entre os planos é
.