Determine o cosseno do ângulo entre os seguintes planos
(a) pi1: 2 x+y-z+7=0
e pi2:-x+3 y-2 z+2=0.

Passo 1

No exercício, precisamos encontrar o cosseno do ângulo entre os planos pi1: 2x + y - z + 7 = 0 e pi2: -x + 3y - 2z + 2 = 0. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos e como calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, identificamos os vetores normais de cada plano. Para um plano da forma Ax + By + Cz + D = 0, o vetor normal é dado por n = (A, B, C). Então:
  • Para pi1, o vetor normal é n1 = (2, 1, -1).
  • Para pi2, o vetor normal é n2 = (-1, 3, -2).

Passo 3

O cosseno do ângulo theta entre os dois planos é igual ao cosseno do ângulo entre seus vetores normais. A fórmula para isso é:
costheta = n1 cdot n2|n1| |n2|
Aqui, n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores normais, e |n| representa a norma (ou comprimento) do vetor.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Produto Escalar ( n1 cdot n2):
    n1 cdot n2 = (2)(-1) + (1)(3) + (-1)(-2) = -2 + 3 + 2 = 3
  2. Norma de n1:
    |n1| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
  3. Norma de n2:
    |n2| = raiz(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
costheta = 3raiz6 cdot raiz14 = 3raiz84 = 32raiz21 = 3raiz2142 = raiz2114

Resposta

O cosseno do ângulo entre os planos é costheta = dfracraiz2114.

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