Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,4,-1) e é ortogonal às retas: r1:[x,y,z]=[0,0,1]+[2,3,4] e r2: {x=3, Y=1-t , z=t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto A(5, 4, −1) e que é ortogonal às retas r₁ e r₂. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e produtos vetoriais para determinar a direção da reta que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r₁ e r₂. Para a reta r₁, ela está na forma vetorial:
r1: x = 0 + 2t y = 0 + 3t z = 1 + 4t
O vetor diretor da r₁ é então v1 = (2, 3, 4).
Já para a reta r₂, que está na forma paramétrica:
r2: x = 3 y = 1 - t z = t
O vetor diretor da r₂ é v2 = (0, -1, 1).

Passo 3

Como queremos que a reta que estamos procurando seja ortogonal a ambas as retas r₁ e r₂, o vetor diretor dessa nova reta, vamos chamar de d, precisa ser perpendicular aos vetores v1 e v2. Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial (ou produto cruzado).

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2:
d = v1 times v2 = i & j & k 2 & 3 & 4 0 & -1 & 1
Calculando o determinante:
d = i(3 cdot 1 - 4 cdot (-1)) - j(2 cdot 1 - 4 cdot 0) + k(2 cdot (-1) - 3 cdot 0)
d = i(3 + 4) - j(2 - 0) + k(-2 - 0)
d = 7i - 2j - 2k
Então, o vetor diretor da reta que buscamos é d = (7, -2, -2).

Passo 5

Agora que temos o ponto por onde a reta passa, A(5, 4, −1), e o vetor diretor d = (7, -2, -2), podemos escrever as equações paramétricas da reta r:
x = 5 + 7t y = 4 - 2t z = -1 - 2t
Onde t é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta r são:
x = 5 + 7t y = 4 - 2t z = -1 - 2t

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