Determine a, b, c e d para que as matrizes (a + 2b, 3c, -2d, -a + 3b, -2c + d) e (7, 8, 8, -1) sejam iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar os valores de $ a $, $ b $, $ c $ e $ d $ de forma que duas matrizes sejam iguais. As matrizes são dadas da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo de sistemas de equações lineares, onde igualamos cada elemento correspondente das duas matrizes para encontrar os valores desconhecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que para duas matrizes serem iguais, todos os elementos correspondentes devem ser iguais. Porém, percebi que a Matriz 1 tem 5 elementos e a Matriz 2 tem 4 elementos. Isso pode ser um erro de digitação na questão. Vou assumir que a Matriz 2 deveria ter 5 elementos para que possamos igualar corretamente.
Vamos considerar que a Matriz 2 seja $ (7, 8, 8, -1, ?) $. No entanto, como o último elemento não foi fornecido, vou prosseguir com os 4 elementos disponíveis. Isso significa que vamos igualar os primeiros 4 elementos das duas matrizes.
Passo 3
Vamos igualar cada elemento correspondente das duas matrizes:
- $ a + 2b = 7 $
- $ 3c = 8 $
- $ -2d = 8 $
- $ -a + 3b = -1 $
Agora temos um sistema de 4 equações. Entretanto, temos 4 variáveis ($ a, b, c, d $), então podemos resolver.
Passo 4
Vamos resolver cada equação passo a passo.
Segunda Equação:
Isso nos dá o valor de $ c $.
Terceira Equação:
Agora temos $ c = \frac{8}{3} $ e $ d = -4 $.
Passo 5
Agora, vamos usar os valores de $ c $ e $ d $ para encontrar $ a $ e $ b $.
Primeira Equação:
Quarta Equação:
Vamos somar as duas equações para eliminar $ a $:
Passo 6
Com o valor de $ b $, agora encontramos $ a $ usando a primeira equação:
Resposta
Os valores que satisfazem as matrizes são: