Determinar as equações das perpendiculares à reta r : 7 x-24 y+1=0, as quais estão à distância 3 do ponto P=(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações das retas que são perpendiculares à reta e que estão a uma distância de 3 unidades do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a inclinação das retas e a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação (coeficiente angular) da reta 7x - 24y + 1 = 0 Rightarrow -24y = -7x - 1 Rightarrow y = 724x + 124 . Para isso, colocamos a equação na forma mperp = -247 , onde é o coeficiente angular.
Então, a inclinação de é .
Como queremos retas perpendiculares, a inclinação delas será o negativo do inverso de . Ou seja:

Passo 3

Agora, sabemos que as retas que queremos têm a forma:
y = -247x + b
Onde d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 é o coeficiente linear que precisamos encontrar. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto 247x + y - b = 0 e uma reta 3 = |247(1) + 1(0) - b|raiz(247)^2 + 1^2 :
No nosso caso, o ponto é , a distância , e a reta tem a forma , que podemos reescrever como:
Então, , , e .
Substituindo na fórmula da distância:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar 3 = |247 - b|raiz57649 + 1 = |247 - b|raiz62549 = |247 - b|257 :
3 times 257 = |247 - b| Rightarrow 757 = |247 - b|
Multiplicando ambos os lados por 247 - b = 757 ou 247 - b = -757 :
Isso significa que:
Resolvendo para :

Resposta

As equações das retas perpendiculares a y = -247x - 517 que estão a uma distância de 3 do ponto y = -247x + 997 são:
e

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