Determinar a função
:
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que pede para determinar a função $ g(t) $ a partir da sua transformada de Fourier $ G(\omega) = \frac{3}{j \omega + \pi} $. Aqui, estamos lidando com Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta usada para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela de transformadas de Fourier e entender como inverter essa transformada para encontrar $ g(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ G(\omega) $ de uma forma que reconheçamos uma transformada conhecida. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, sabemos que a transformada de Fourier de uma função exponencial decrescente multiplicada pela função degrau unitário $ u(t) $ é dada por:
onde $ a > 0 $.
Passo 4
Comparando isso com o nosso $ G(\omega) = \frac{3}{\pi + j \omega} $, vemos que podemos associar $ a = \pi $ e há um fator de 3 na frente. Isso significa que a função no domínio do tempo será:
Resposta
A função $ g(t) $ é dada por: