Usando a definição da transformada de Fourier, determinar a transformada dos sinais abaixo:
mathscrF[x(t)]=X(omega)=integral-infty^infty x(t) e^-j omega t d t
x(t)=cos (omega t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a transformada de Fourier de um sinal específico, que é $ x(t) = \cos(\omega t) $. A transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, ajudando a entender quais frequências estão presentes no sinal. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier:
mathscrF[x(t)] = X(omega) = integral-infty^infty x(t) e^-j omega t , dt
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega $ é a frequência angular.

Passo 3

O próximo passo é substituir $ x(t) $ pela função dada, que é $ \cos(\omega t) $:
x(t)

Passo 4

Agora, para simplificar essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica para a cosseno em termos de exponenciais complexas:
cos(omega t) = e^j omega t + e^-j omega t2
Substituindo isso na integral:
X(omega) = integral-infty^infty ( e^j omega t + e^-j omega t2 ) e^-j omega t , dt

Passo 5

Vamos distribuir o $ e^{-j \omega t} $ dentro da integral:
e^-j omega t
Simplificando os expoentes:
X(omega) = 12 integral-infty^infty e^j omega t e^-j omega t + e^-j omega t e^-j omega t , dt

Passo 6

Agora, podemos separar a integral em duas partes:
X(omega) = 12 ( integral-infty^infty 1 , dt + integral-infty^infty e^-j 2omega t , dt )
A primeira integral $ \int_{-\infty}^{\infty} 1 , dt $ é infinita, mas na transformada de Fourier, isso é interpretado como uma função delta de Dirac:
integral-infty^infty 1 , dt
A segunda integral $ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2\omega t} , dt $ também é uma função delta:
integral-infty^infty 1 , dt = 2pi de

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de $ X(\omega) $:
X(omega)

Passo 8

Simplificando a expressão final, reconhecemos que $ \delta(2\omega) = \frac{1}{2} \delta(\omega) $. Portanto:
de

Resposta

A transformada de Fourier de $ x(t) = \cos(\omega t) $ é:
x(t) = cos(omega t)
Onde $ \delta $ representa a função delta de Dirac e $ \omega_0 $ é a frequência do cosseno original.

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