Usando a definição da transformada de Fourier, determinar a transformada dos sinais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a transformada de Fourier de um sinal específico, que é $ x(t) = \cos(\omega t) $. A transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, ajudando a entender quais frequências estão presentes no sinal. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier:
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 3
O próximo passo é substituir $ x(t) $ pela função dada, que é $ \cos(\omega t) $:
Passo 4
Agora, para simplificar essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica para a cosseno em termos de exponenciais complexas:
Substituindo isso na integral:
Passo 5
Vamos distribuir o $ e^{-j \omega t} $ dentro da integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral $ \int_{-\infty}^{\infty} 1 , dt $ é infinita, mas na transformada de Fourier, isso é interpretado como uma função delta de Dirac:
A segunda integral $ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j 2\omega t} , dt $ também é uma função delta:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de $ X(\omega) $:
Passo 8
Simplificando a expressão final, reconhecemos que $ \delta(2\omega) = \frac{1}{2} \delta(\omega) $. Portanto:
Resposta
A transformada de Fourier de $ x(t) = \cos(\omega t) $ é:
Onde $ \delta $ representa a função delta de Dirac e $ \omega_0 $ é a frequência do cosseno original.