Determinar a função g(t) :
G(omega)=1omega^2+9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função no domínio da frequência, $ G(\omega) = \frac{1}{\omega^{2} + 9} $, e precisamos determinar a função correspondente no domínio do tempo, chamada $ g(t) $.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Transformada de Fourier, que relaciona funções no tempo com funções na frequência. A Transformada de Fourier nos permite passar de $ G(\omega) $ para $ g(t) $ através da Transformada Inversa de Fourier.

Passo 2

A Transformada Inversa de Fourier é dada pela fórmula:
g(t) = 12pi integral-infty^infty G(omega) e^iomega t domega
Nosso objetivo é calcular essa integral para encontrar $ g(t) $.

Passo 3

Substituindo $ G(\omega) $ na fórmula, temos:
G(omega)
Essa é uma integral que podemos resolver usando tabelas de transformadas de Fourier ou propriedades conhecidas das transformadas.

Passo 4

Sabemos que:
integral-infty^infty 1omega^2 + a^2 e^iomega t domega = pia e^-a |t|
Comparando com nossa integral, identificamos que $ a^{2} = 9 $, ou seja, $ a = 3 $.

Passo 5

Aplicando essa propriedade na nossa integral:
g(t) = 12pi times pi3 e^-3 |t| = 16 e^-3 |t|

Resposta

A função $ g(t) $ é dada por:
g(t)

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