Determinar a função
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função no domínio da frequência, $ G(\omega) = \frac{1}{\omega^{2} + 9} $, e precisamos determinar a função correspondente no domínio do tempo, chamada $ g(t) $.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Transformada de Fourier, que relaciona funções no tempo com funções na frequência. A Transformada de Fourier nos permite passar de $ G(\omega) $ para $ g(t) $ através da Transformada Inversa de Fourier.
Passo 2
A Transformada Inversa de Fourier é dada pela fórmula:
Nosso objetivo é calcular essa integral para encontrar $ g(t) $.
Passo 3
Substituindo $ G(\omega) $ na fórmula, temos:
Essa é uma integral que podemos resolver usando tabelas de transformadas de Fourier ou propriedades conhecidas das transformadas.
Passo 4
Sabemos que:
Comparando com nossa integral, identificamos que $ a^{2} = 9 $, ou seja, $ a = 3 $.
Passo 5
Aplicando essa propriedade na nossa integral:
Resposta
A função $ g(t) $ é dada por: