Usando a definição da transformada de Fourier, determinar a transformada dos sinais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformada de Fourier do sinal $ x(t) = e^{a t} $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier:
Então, precisamos aplicar essa fórmula ao nosso sinal $ x(t) = e^{a t} $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x(t) $ na fórmula da transformada de Fourier. Ficamos com:
Aqui, combinamos os expoentes que têm $ t $ como variável. Lembrando que quando multiplicamos duas exponenciais com a mesma base, somamos os expoentes.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a transformada fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de uma exponencial é:
onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando isso à nossa integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos avaliar os limites da integral. Para que a integral convirja, o termo exponencial deve tender a zero quando $ t $ vai para $ \pm \infty $. Isso acontece se a parte real de $ a $ for negativa, ou seja, $ Re(a) < 0 $.
Assumindo que $ Re(a) < 0 $, ao calcular os limites, o termo exponencial desaparece em ambos os extremos, e ficamos apenas com:
Resposta
A transformada de Fourier do sinal $ x(t) = e^{a t} $ é: