Usando a definição da transformada de Fourier, determinar a transformada dos sinais abaixo:
mathscrF[x(t)]=X(omega)=integral-infty^infty x(t) e^-j omega t d t
x(t)=e^a t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a transformada de Fourier do sinal $ x(t) = e^{a t} $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Fourier:
x(t) = e^a t
Então, precisamos aplicar essa fórmula ao nosso sinal $ x(t) = e^{a t} $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ x(t) $ na fórmula da transformada de Fourier. Ficamos com:
x(t)
Aqui, combinamos os expoentes que têm $ t $ como variável. Lembrando que quando multiplicamos duas exponenciais com a mesma base, somamos os expoentes.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
e^a t cdot e^-j omega t = e^(a - j omega) t
Então, a transformada fica:
X(omega) = integral-infty^infty e^(a - j omega) t , dt

Passo 4

Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de uma exponencial é:
integral e^k t , dt = e^k tk + C
onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando isso à nossa integral, temos:
C

Passo 5

Agora, vamos avaliar os limites da integral. Para que a integral convirja, o termo exponencial deve tender a zero quando $ t $ vai para $ \pm \infty $. Isso acontece se a parte real de $ a $ for negativa, ou seja, $ Re(a) < 0 $.
Assumindo que $ Re(a) < 0 $, ao calcular os limites, o termo exponencial desaparece em ambos os extremos, e ficamos apenas com:
t

Resposta

A transformada de Fourier do sinal $ x(t) = e^{a t} $ é:
x(t) = e^a t

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