Prove, usando a definição, que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando a definição, que o limite de
quando
vai para infinito é mais infinito. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências e vamos precisar entender a definição formal de limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que o limite de
tende a infinito. Basicamente, queremos mostrar que, para qualquer número grande que você imaginar, existe um ponto na sequência de fatorial onde todos os termos seguintes são maiores que esse número.
Passo 3
Vamos formalizar isso usando a definição de limite no infinito. Dizemos que
se, para todo número real
positivo, existe um número inteiro
tal que, para todo
,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar esse
para um
qualquer. Observe que o fatorial cresce muito rápido. Por exemplo, para
, temos
. De forma geral, podemos escolher
de modo que
. Como
cresce exponencialmente, sempre dá para encontrar um
que satisfaça
.
Passo 5
Assim, mostramos que não importa quão grande seja
, sempre existe um
tal que para todo
,
. Isso confirma que
cresce sem limites à medida que
aumenta.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
Determinar
, sendo:
© e
é a fronteira do sólido
1 e
, com vetor normal
exterior.
©
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.