- Descreva a definição de um espaço vetorial (com exemplo no espaço de funções)
Passo 1
Então, a gente vai falar sobre o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conceito fundamental na álgebra linear que envolve um conjunto de vetores onde você pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar. Para entender isso, vamos precisar conhecer as propriedades que esses vetores devem satisfazer e, para deixar mais claro, vou te dar um exemplo usando o espaço das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto
juntamente com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Essas operações precisam obedecer a oito axiomas. Vamos listar e explicar cada um deles:
- Comutatividade da Adição: Para quaisquer
, . - Associatividade da Adição: Para quaisquer
, . - Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor
tal que para todo . - Elemento Inverso da Adição: Para cada
, existe um vetor tal que . - Compatibilidade da Multiplicação por Escalar: Para todo escalar
e e todo vetor , . - Identidade da Multiplicação por Escalar: Para todo vetor
, , onde 1 é o elemento neutro da multiplicação. - Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: Para todo escalar
e vetores , . - Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares: Para todos os escalares
e todo vetor , .
Esses axiomas garantem que a estrutura do conjunto
permite um comportamento semelhante ao dos vetores no espaço convencional que estamos acostumados, como o espaço
.
Passo 3
Agora, para entender melhor, vamos olhar para um exemplo no espaço das funções. Considere
como o conjunto de todas as funções contínuas de
para
. A gente pode definir duas operações nesse espaço:
- Adição de Funções: Se
e são funções em , então . - Multiplicação por Escalar: Se
é um escalar e é uma função em , então .
Vamos verificar se essas operações satisfazem os oito axiomas que mencionei antes:
- Comutatividade:
porque . - Associatividade:
. - Elemento Neutro: A função
serve como elemento neutro. - Elemento Inverso: A função
é o inverso de . - Compatibilidade:
. - Identidade:
. - Distribuição em Relação à Adição de Vetores:
. - Distribuição em Relação à Adição de Escalares:
.
Como todas essas propriedades são verdadeiras para o conjunto das funções contínuas com as operações definidas, podemos concluir que esse conjunto é, de fato, um espaço vetorial.
Resposta
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde se podem realizar operações de adição e multiplicação por escalar que obedecem a certas propriedades. Por exemplo, o conjunto de todas as funções contínuas de
para
, com a adição de funções e a multiplicação por escalar definidas naturalmente, forma um espaço vetorial.
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