• Descreva a definição de um espaço vetorial (com exemplo no espaço de funções)

Passo 1

Então, a gente vai falar sobre o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conceito fundamental na álgebra linear que envolve um conjunto de vetores onde você pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar. Para entender isso, vamos precisar conhecer as propriedades que esses vetores devem satisfazer e, para deixar mais claro, vou te dar um exemplo usando o espaço das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto juntamente com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar. Essas operações precisam obedecer a oito axiomas. Vamos listar e explicar cada um deles:
  1. Comutatividade da Adição: Para quaisquer , .
  2. Associatividade da Adição: Para quaisquer , .
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor tal que para todo .
  4. Elemento Inverso da Adição: Para cada , existe um vetor tal que .
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar: Para todo escalar e e todo vetor , .
  6. Identidade da Multiplicação por Escalar: Para todo vetor , , onde 1 é o elemento neutro da multiplicação.
  7. Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: Para todo escalar e vetores , .
  8. Distribuição da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares: Para todos os escalares e todo vetor , .
Esses axiomas garantem que a estrutura do conjunto permite um comportamento semelhante ao dos vetores no espaço convencional que estamos acostumados, como o espaço .

Passo 3

Agora, para entender melhor, vamos olhar para um exemplo no espaço das funções. Considere como o conjunto de todas as funções contínuas de para . A gente pode definir duas operações nesse espaço:
  • Adição de Funções: Se e são funções em , então .
  • Multiplicação por Escalar: Se é um escalar e é uma função em , então .
Vamos verificar se essas operações satisfazem os oito axiomas que mencionei antes:
  1. Comutatividade: porque .
  2. Associatividade: .
  3. Elemento Neutro: A função serve como elemento neutro.
  4. Elemento Inverso: A função é o inverso de .
  5. Compatibilidade: .
  6. Identidade: .
  7. Distribuição em Relação à Adição de Vetores: .
  8. Distribuição em Relação à Adição de Escalares: .
Como todas essas propriedades são verdadeiras para o conjunto das funções contínuas com as operações definidas, podemos concluir que esse conjunto é, de fato, um espaço vetorial.

Resposta

Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde se podem realizar operações de adição e multiplicação por escalar que obedecem a certas propriedades. Por exemplo, o conjunto de todas as funções contínuas de para , com a adição de funções e a multiplicação por escalar definidas naturalmente, forma um espaço vetorial.

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