Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
x^2 y^2 + 2 x y = 0 ; P = (2, -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida pela equação no ponto . Para isso, vamos usar o diferenciamento implícito, que ajuda a encontrar a derivada quando a função não está isolada em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que, quando a gente tem termos envolvendo , que também depende de , a gente precisa aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo:
  1. Para :
    • Use a regra do produto: derivada de é , multiplicado por , mais vezes a derivada de .
    • A derivada de é (pela cadeia).
  2. Para :
    • Novamente, a regra do produto: derivada de é , multiplicado por , mais vezes a derivada de , que é .
Então, fica assim:

Passo 4

Agora, vamos organizar os termos que contêm e os que não contêm:
Para isolar , subtraímos dos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 5

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Resposta

A equação da reta tangente no ponto é:
Ou, simplificando:

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