Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante t, por a(t) = t * 2^(-t), com velocidade inicial de 1/(2 ln 2) m/s. Determine:
b) a velocidade instantânea no instante t = 2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo Ox com uma aceleração que varia com o tempo, dada por . A velocidade inicial dessa partícula é . O objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade instantânea da partícula no instante segundos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática, especificamente como relacionar aceleração e velocidade através da integração.

Passo 2

Primeiro, lembra que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo e somar a velocidade inicial. A fórmula básica é:
Aqui, é a velocidade inicial e é uma variável de integração.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para encontrar :
Agora, precisamos calcular a integral .

Passo 4

Para resolver a integral , podemos reescrever usando a base do logaritmo natural:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
Calculando as derivadas e integrais necessárias:

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
A segunda integral é:

Passo 7

Juntando tudo:
Calculando nos limites de 0 a 2:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos essa integral na fórmula da velocidade:

Passo 9

Para encontrar o valor numérico, calculamos :

Resposta

A velocidade instantânea da partícula no instante é aproximadamente 1,56 m/s.

Exercícios relacionados

Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 = y^3 ; x = 8
Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x^2 e pela reta x = b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:
(A) 3
(B) 4
© 5
(D) 6
(E) 7
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
x^2 y^2 + 2 x y = 0 ; P = (2, -1)
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
h) integral-infty^1 1x^2 d x