Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
f(x) = x + 6x^2 + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, além de esboçar o gráfico da função .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função em relação ao crescimento e concavidade. Não se preocupe, vou explicar cada parte!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada primeira, denotada por , nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, informa se a função está aumentando ou diminuindo em um certo intervalo.
A função dada é:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada primeira .
  • Crescimento: A função cresce onde .
  • Decrescimento: A função decresce onde .
Vamos resolver para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .
Vamos analisar os sinais em cada intervalo definido por esse ponto:
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Portanto, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Vamos identificar os máximos e mínimos locais. Como a função é uma parábola e a derivada muda de negativa para positiva em , isso indica que temos um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função original:
Então, o mínimo local ocorre em .

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a derivada segunda, . A derivada segunda nos informa se a função é côncava para cima ou para baixo.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:
Derivando novamente:
Como para todo , a função é côncava para cima em todo o seu domínio. Isso significa que não há pontos de inflexão.

Passo 6

Agora que temos todas as informações necessárias, vamos resumir:
  • Intervalos de Crescimento:
  • Intervalos de Decrescimento:
  • Mínimo Local:
  • Concavidade: A função é côncava para cima em todo o domínio.

Resposta

A função tem:
  • Intervalo de Crescimento:
  • Intervalo de Decrescimento:
  • Mínimo Local: no ponto
  • Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio.
O gráfico é uma parábola voltada para cima com o vértice no ponto de mínimo mencionado.

Exercícios relacionados

Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
f(x) = x^2 / (x + 1)
Considere o problema de valor inicial y' = t * y * (4 - y) / (1 + t), y(0) = y0 > 0
2 y' - y = e^(t / 3), y(0) = a
Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
f(x)=(3x+1)/((x+2)(x-3))