Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, além de esboçar o gráfico da função
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função em relação ao crescimento e concavidade. Não se preocupe, vou explicar cada parte!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira, denotada por
, nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, informa se a função está aumentando ou diminuindo em um certo intervalo.
A função dada é:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal da derivada primeira
.
- Crescimento: A função cresce onde
. - Decrescimento: A função decresce onde
.
Vamos resolver
para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Vamos analisar os sinais em cada intervalo definido por esse ponto:
-
Intervalo
:
Escolha: Portanto, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha: Portanto, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 4
Vamos identificar os máximos e mínimos locais. Como a função é uma parábola e a derivada muda de negativa para positiva em
, isso indica que temos um mínimo local nesse ponto.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos
na função original:
Então, o mínimo local ocorre em
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a derivada segunda,
. A derivada segunda nos informa se a função é côncava para cima ou para baixo.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:
Derivando novamente:
Como
para todo
, a função é côncava para cima em todo o seu domínio. Isso significa que não há pontos de inflexão.
Passo 6
Agora que temos todas as informações necessárias, vamos resumir:
- Intervalos de Crescimento:
- Intervalos de Decrescimento:
- Mínimo Local:
- Concavidade: A função é côncava para cima em todo o domínio.
Resposta
A função
tem:
- Intervalo de Crescimento:
- Intervalo de Decrescimento:
- Mínimo Local: no ponto
- Concavidade: Côncava para cima em todo o domínio.
O gráfico é uma parábola voltada para cima com o vértice no ponto de mínimo mencionado.
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