Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
f(x) = x^2 / (x + 1)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e também esboçar o gráfico da função .
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta: onde ela está aumentando ou diminuindo, onde tem pontos de máximo ou mínimo, e como está a sua concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
A função é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , a derivada é:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso depende do sinal da derivada primeira .
Vamos analisar o numerador e o denominador da derivada:
O denominador é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo, exceto quando , onde a função não está definida.
Então, o sinal de depende apenas do numerador .
Resolvendo :
Portanto, ou .
Vamos analisar os intervalos determinados por esses valores:
  1. Intervalo (-∞, -2):
    Escolha :
    Então, → função crescente.
  2. Intervalo (-2, 0):
    Escolha :
    Então, → função decrescente.
  3. Intervalo (0, ∞):
    Escolha :
    Então, → função crescente.

Passo 4

Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo local. Esses pontos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe, desde que haja uma mudança no sinal da derivada.
Dos cálculos anteriores, vimos que quando e .
Analisando a mudança de sinal:
  • Em :
    Antes de -2, (função crescente).
    Depois de -2, (função decrescente).
    Isso indica um máximo local em .
  • Em :
    Antes de 0, (função decrescente).
    Depois de 0, (função crescente).
    Isso indica um mínimo local em .
Vamos calcular as coordenadas desses pontos:
  • Máximo em :
    Portanto, o ponto é (-2, -4).
  • Mínimo em :
    Portanto, o ponto é (0, 0).

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função utilizando a derivada segunda . A concavidade para cima ocorre onde e concavidade para baixo onde .
Primeiro, vamos derivar para encontrar .
A derivada primeira:
Vamos derivar usando a regra do quociente novamente:
Seja e .
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Para simplificar ainda mais, podemos fatorar :
Então, a derivada segunda fica:
Agora, vamos analisar o sinal de :
  • Quando (ou seja, ), → concavidade para cima.
  • Quando (ou seja, ), → concavidade para baixo.

Passo 6

Por último, vamos esboçar o gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
  1. Pontos críticos:
    • Máximo local em (-2, -4)
    • Mínimo local em (0, 0)
  2. Intervalos de crescimento e decrescimento:
    • Crescente em e
    • Decrescente em
  3. Concavidade:
    • Concavidade para baixo em
    • Concavidade para cima em
  4. Assíntote vertical:
    • A função não está definida em , então temos uma assíntote vertical nesse ponto.
  5. Comportamento no infinito:
    • Conforme tende ao infinito, se comporta como , então a função tende ao infinito positivo.
    • Conforme tende a , se comporta como , então tende ao infinito positivo também.
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, marcando os pontos de máximo e mínimo, as assíntotes, e indicando onde a função está crescendo, decrescendo e a concavidade.

Resposta

Os intervalos de crescimento são e ; os intervalos de decrescimento são . A função possui um máximo local em (-2, -4) e um mínimo local em (0, 0). A concavidade é para baixo em e para cima em . O esboço do gráfico deve refletir esses comportamentos, além de uma assíntote vertical em e o comportamento assintótico conforme tende a infinito.

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