Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, e também esboçar o gráfico da função
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. As derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta: onde ela está aumentando ou diminuindo, onde tem pontos de máximo ou mínimo, e como está a sua concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
A função é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, a derivada é:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso depende do sinal da derivada primeira
.
Vamos analisar o numerador e o denominador da derivada:
O denominador
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo, exceto quando
, onde a função não está definida.
Então, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Resolvendo
:
Portanto,
ou
.
Vamos analisar os intervalos determinados por esses valores:
-
Intervalo (-∞, -2):
Escolha: Então,→ função crescente. -
Intervalo (-2, 0):
Escolha: Então,→ função decrescente. -
Intervalo (0, ∞):
Escolha: Então,→ função crescente.
Passo 4
Vamos agora identificar os pontos de máximo e mínimo local. Esses pontos ocorrem onde a derivada primeira é zero ou não existe, desde que haja uma mudança no sinal da derivada.
Dos cálculos anteriores, vimos que
quando
e
.
Analisando a mudança de sinal:
-
Em
:
Antes de -2,(função crescente).
Depois de -2,(função decrescente).
Isso indica um máximo local em. -
Em
:
Antes de 0,(função decrescente).
Depois de 0,(função crescente).
Isso indica um mínimo local em.
Vamos calcular as coordenadas desses pontos:
-
Máximo em
: Portanto, o ponto é (-2, -4). -
Mínimo em
: Portanto, o ponto é (0, 0).
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função utilizando a derivada segunda
. A concavidade para cima ocorre onde
e concavidade para baixo onde
.
Primeiro, vamos derivar
para encontrar
.
A derivada primeira:
Vamos derivar usando a regra do quociente novamente:
Seja
e
.
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Para simplificar ainda mais, podemos fatorar
:
Então, a derivada segunda fica:
Agora, vamos analisar o sinal de
:
- Quando
(ou seja, ), → concavidade para cima. - Quando
(ou seja, ), → concavidade para baixo.
Passo 6
Por último, vamos esboçar o gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
-
Pontos críticos:
- Máximo local em (-2, -4)
- Mínimo local em (0, 0)
-
Intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente em
e - Decrescente em
- Crescente em
-
Concavidade:
- Concavidade para baixo em
- Concavidade para cima em
- Concavidade para baixo em
-
Assíntote vertical:
- A função não está definida em
, então temos uma assíntote vertical nesse ponto.
- A função não está definida em
-
Comportamento no infinito:
- Conforme
tende ao infinito, se comporta como , então a função tende ao infinito positivo. - Conforme
tende a , se comporta como , então tende ao infinito positivo também.
- Conforme
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função, marcando os pontos de máximo e mínimo, as assíntotes, e indicando onde a função está crescendo, decrescendo e a concavidade.
Resposta
Os intervalos de crescimento são
e
; os intervalos de decrescimento são
. A função possui um máximo local em (-2, -4) e um mínimo local em (0, 0). A concavidade é para baixo em
e para cima em
. O esboço do gráfico deve refletir esses comportamentos, além de uma assíntote vertical em
e o comportamento assintótico conforme
tende a infinito.
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Considere o problema de valor inicial
(Brannan, 2013,pg 16) Considere um prédio como uma caixa parcialmente isolada sujeita a flutuações externas de temperatura. Sejam
e
as temperaturas interna e externa (em graus Fahrenheit), respectivamente, no instante
(em horas). Baseando-se na lei do resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação de
, denotada por
, é proporcional à diferença de temperatura
, obtemos então, a equação diferencial:
, onde
é uma constante positiva. Fazendo
e supondo que a oscilação da temperatura externa é dada por:
, obtemos:
. Considerando a condição inicial
, calcule a temperatura interna
, usando o método do fator integrante. (RESPOSTA:
)
Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções: