Considere o problema de valor inicial
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado por:
Este é um problema de equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação para integrar os termos que contêm
de um lado e os termos que contêm
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma a separar as variáveis
e
:
Podemos rearranjar essa equação para:
Aqui, isolamos os termos com
no lado esquerdo e os termos com
no lado direito, facilitando a integração de ambos os lados separadamente.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começamos com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Queremos expressar
como
:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores convenientes para
:
-
Quando
: -
Quando
:
Então, temos:
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, integramos termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Podemos simplificar essa integral dividindo
por
:
Então, a integral se torna:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
onde
é a constante geral de integração.
Passo 7
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 4:
Onde
é uma nova constante de integração.
Podemos combinar os logaritmos:
Passo 8
Para resolver para
, primeiro eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Passo 10
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
$$
4K = y_0 + y_0 K,
4K = y_0 + y_0 K,
$$
$$
K (4 - y_0) = y_0,
K (4 - y_0) = y_0,
$$
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: