Considere o problema de valor inicial y' = t * y * (4 - y) / (1 + t), y(0) = y0 > 0

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado por:
Este é um problema de equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação para integrar os termos que contêm de um lado e os termos que contêm do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma a separar as variáveis e :
Podemos rearranjar essa equação para:
Aqui, isolamos os termos com no lado esquerdo e os termos com no lado direito, facilitando a integração de ambos os lados separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Começamos com o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Queremos expressar como :
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar os valores de e , escolhemos valores convenientes para :
  • Quando :
  • Quando :
Então, temos:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, integramos termo a termo:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Podemos simplificar essa integral dividindo por :
Então, a integral se torna:
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
onde é a constante geral de integração.

Passo 7

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por 4:
Onde é uma nova constante de integração.
Podemos combinar os logaritmos:

Passo 8

Para resolver para , primeiro eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 9

Agora, resolvemos para :

Passo 10

Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Resolvendo para :
$$
4K = y_0 + y_0 K,
$$
$$
K (4 - y_0) = y_0,
$$

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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