Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
g) f(x) = -1/4 x^4 + 5/3 x^3 - 2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, além de encontrar seus máximos e mínimos usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Isso acontece quando .
Fatorando:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as soluções são:
Então, os pontos críticos são , , e .

Passo 4

Vamos encontrar a segunda derivada de , que nos ajuda a determinar a concavidade da função e identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da segunda derivada nos pontos críticos.
  1. Para :
Como , a função tem um máximo em .
  1. Para :
Como , a função tem um mínimo em .
  1. Para :
Como , a função tem um máximo em .

Passo 6

Vamos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada .
  • Crescimento: onde
  • Decrescimento: onde
Analisando os pontos críticos , , e , dividimos a reta real em intervalos:
  1. Intervalo :
    Escolhemos :
    Então, está crescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolhemos :
    Então, está decrescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    Escolhemos :
    Então, está crescente nesse intervalo.
  4. Intervalo :
    Escolhemos :
    Então, está decrescente nesse intervalo.

Resposta

A função possui:
  • Crescimento nos intervalos e .
  • Decrescimento nos intervalos e .
  • Máximos em e .
  • Mínimo em .

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