Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar onde a função
está crescendo ou decrescendo, além de encontrar seus máximos e mínimos usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Isso acontece quando
.
Fatorando:
Então:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as soluções são:
Então, os pontos críticos são
,
, e
.
Passo 4
Vamos encontrar a segunda derivada de
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função e identificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
Passo 5
Agora, aplicamos o teste da segunda derivada nos pontos críticos.
- Para
:
Como
, a função tem um máximo em
.
- Para
:
Como
, a função tem um mínimo em
.
- Para
:
Como
, a função tem um máximo em
.
Passo 6
Vamos agora determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando a primeira derivada
.
- Crescimento: onde
- Decrescimento: onde
Analisando os pontos críticos
,
, e
, dividimos a reta real em intervalos:
-
Intervalo
:
Escolhemos: Então,está crescente nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolhemos: Então,está decrescente nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolhemos: Então,está crescente nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolhemos: Então,está decrescente nesse intervalo.
Resposta
A função
possui:
- Crescimento nos intervalos
e . - Decrescimento nos intervalos
e . - Máximos em
e . - Mínimo em
.