Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
d) g(x) = 4 x / (x^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O enunciado pede para a gente encontrar onde a função está crescendo ou diminuindo, e também identificar os pontos onde ela tem máximos e mínimos. Para resolver isso, vamos usar o teste da segunda derivada, que faz parte do estudo de cálculo diferencial. Basicamente, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função para analisar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em relação a .
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ou onde a derivada não existe.
Vamos resolver :
O numerador precisa ser zero:
Então, nossos pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos, ou seja, se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada . Isso envolve derivar :
Usando a regra do quociente novamente:
Calculando:
Isso simplifica para:
Agora, vamos avaliar nos pontos críticos e :
Para :
Como , temos um máximo em .
Para :
Como , temos um mínimo em .

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função usando a primeira derivada .
Lembrando que:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Analisando a expressão da primeira derivada:
Isso depende do sinal de :
  1. Para :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Para :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo no intervalo e decrescendo nos intervalos e . Além disso, ela possui um máximo local em e um mínimo local em .

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