Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O enunciado pede para a gente encontrar onde a função
está crescendo ou diminuindo, e também identificar os pontos onde ela tem máximos e mínimos. Para resolver isso, vamos usar o teste da segunda derivada, que faz parte do estudo de cálculo diferencial. Basicamente, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função para analisar seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em relação a
.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde
ou onde a derivada não existe.
Vamos resolver
:
O numerador precisa ser zero:
Então, nossos pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos, ou seja, se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
. Isso envolve derivar
:
Usando a regra do quociente novamente:
Calculando:
Isso simplifica para:
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, temos um máximo em
.
Para
:
Como
, temos um mínimo em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
usando a primeira derivada
.
Lembrando que:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Analisando a expressão da primeira derivada:
Isso depende do sinal de
:
-
Para
: ⇒ Então, a função está crescendo nesse intervalo. -
Para
: ⇒ Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
e decrescendo nos intervalos
e
. Além disso, ela possui um máximo local em
e um mínimo local em
.