Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
h) f(x) = x + 2/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função é:
Derivando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Igualamos a primeira derivada a zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Para saber se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada da função.
Derivando a primeira derivada:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos.
Para :
Como , temos um ponto de mínimo em .
Para :
Como , temos um ponto de máximo em .

Passo 6

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Olhamos para a primeira derivada :
Analisamos o sinal de :
  • Para :
    A função está crescendo.
  • Para :
    A função está decrescendo.

Resposta

A função tem os seguintes intervalos:
  • Crescimento: Para e .
  • Decrescimento: Para .
Além disso, a função possui:
  • Máximo local em .
  • Mínimo local em .

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