Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo.
A função é:
Derivando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Igualamos a primeira derivada a zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Para saber se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada da função.
Derivando a primeira derivada:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos.
Para
:
Como
, temos um ponto de mínimo em
.
Para
:
Como
, temos um ponto de máximo em
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Olhamos para a primeira derivada
:
Analisamos o sinal de
:
-
Para
: A função está crescendo. -
Para
: A função está decrescendo.
Resposta
A função
tem os seguintes intervalos:
- Crescimento: Para
e . - Decrescimento: Para
.
Além disso, a função possui:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.