Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
b) f(x) = 7x^2 - 6x + 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo usando o teste da segunda derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente de análise de funções e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
A função é:
A primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos são possíveis candidatos a máximos ou mínimos.
Resolvendo :

Passo 4

Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da segunda derivada:
  • Se , a função é côncava para cima e o ponto crítico é um mínimo.
  • Se , a função é côncava para baixo e o ponto crítico é um máximo.
No nosso caso, , então temos um mínimo no ponto crítico .

Passo 6

Agora que sabemos que a função tem um mínimo em , vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
  • Crescimento: onde
  • Decrescimento: onde
Usando :
  1. Para :
Então, a função está crescendo.
  1. Para :
Então, a função está decrescendo.

Resposta

A função está:
  • Decrescendo no intervalo
  • Crescente no intervalo
Além disso, a função possui um mínimo no ponto .

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