Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da 2ª derivada):
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo usando o teste da segunda derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente de análise de funções e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, onde ela está aumentando ou diminuindo.
A função é:
A primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a primeira derivada é zero ou não existe. Esses pontos são possíveis candidatos a máximos ou mínimos.
Resolvendo
:
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada:
Passo 5
Agora, aplicamos o teste da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima e o ponto crítico é um mínimo. - Se
, a função é côncava para baixo e o ponto crítico é um máximo.
No nosso caso,
, então temos um mínimo no ponto crítico
.
Passo 6
Agora que sabemos que a função tem um mínimo em
, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
- Crescimento: onde
- Decrescimento: onde
Usando
:
- Para
:
Então, a função está crescendo.
- Para
:
Então, a função está decrescendo.
Resposta
A função
está:
- Decrescendo no intervalo
- Crescente no intervalo
Além disso, a função possui um mínimo no ponto
.