Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
25.1)
25.3)
25.2)
25.4)
25.1)
25.3)
25.2)
25.4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar onde cada uma das funções é crescente ou decrescente. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções em termos de crescimento e decrescimento. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de cada função e analisar onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).
Passo 2
Função 25.1)
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Como a derivada é constante e igual a
, que é negativa, isso significa que a função é sempre decrescente em todo o domínio.
Passo 3
Função 25.3)
Vamos calcular a derivada de
:
A derivada
é sempre negativa porque
é sempre positivo. Portanto, a função
também é sempre decrescente em todo o domínio.
Passo 4
Função 25.2)
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é positiva ou negativa. Para isso, resolvemos a equação
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por essas raízes:
- Para
, escolhemos :
Então,
é crescente nesse intervalo.
- Para
, escolhemos :
Então,
é decrescente nesse intervalo.
- Para
, escolhemos :
Então,
é crescente nesse intervalo.
Passo 5
Função 25.4)
Primeiro, vamos calcular a derivada de
usando a regra do quociente:
Simplificando a derivada:
Agora, vamos analisar onde
é positiva ou negativa. Observamos que o denominador
é sempre positivo, exceto quando
(onde a função não está definida). Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador
.
- Troca de sinal no numerador ocorrerá em
e .
Vamos analisar os intervalos:
- Para
:
Então,
é crescente nesse intervalo.
- Para
:
Então,
é decrescente nesse intervalo.
- Para
:
Então,
é crescente nesse intervalo.
Resposta
A seguir, estão os intervalos onde cada função é crescente ou decrescente:
-
: - Decrescente para todo
.
- Decrescente para todo
-
: - Decrescente para todo
.
- Decrescente para todo
-
: - Crescente em
e . - Decrescente em
.
- Crescente em
-
: - Crescente em
e . - Decrescente em
.
- Crescente em
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28.1)
28.3)
28.2)
28.4)
28.1)
28.3)
28.2)
28.4)
Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio
?
Encontrar
e
tal que a função
tenha um extremo relativo no ponto
.
Resolva os limites:
.