Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
25.1)
25.3)
25.2)
25.4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar onde cada uma das funções é crescente ou decrescente. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender o comportamento das funções em termos de crescimento e decrescimento. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de cada função e analisar onde essa derivada é positiva (função crescente) ou negativa (função decrescente).

Passo 2

Função 25.1)
Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a :
Como a derivada é constante e igual a , que é negativa, isso significa que a função é sempre decrescente em todo o domínio.

Passo 3

Função 25.3)
Vamos calcular a derivada de :
A derivada é sempre negativa porque é sempre positivo. Portanto, a função também é sempre decrescente em todo o domínio.

Passo 4

Função 25.2)
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é positiva ou negativa. Para isso, resolvemos a equação :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, as raízes são:
Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados por essas raízes:
  1. Para , escolhemos :
Então, é crescente nesse intervalo.
  1. Para , escolhemos :
Então, é decrescente nesse intervalo.
  1. Para , escolhemos :
Então, é crescente nesse intervalo.

Passo 5

Função 25.4)
Primeiro, vamos calcular a derivada de usando a regra do quociente:
Simplificando a derivada:
Agora, vamos analisar onde é positiva ou negativa. Observamos que o denominador é sempre positivo, exceto quando (onde a função não está definida). Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador .
  1. Troca de sinal no numerador ocorrerá em e .
Vamos analisar os intervalos:
  • Para :
Então, é crescente nesse intervalo.
  • Para :
Então, é decrescente nesse intervalo.
  • Para :
Então, é crescente nesse intervalo.

Resposta

A seguir, estão os intervalos onde cada função é crescente ou decrescente:
  1. :
    • Decrescente para todo .
  2. :
    • Decrescente para todo .
  3. :
    • Crescente em e .
    • Decrescente em .
  4. :
    • Crescente em e .
    • Decrescente em .

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28.3)
28.2)
28.4)
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Resolva os limites: .