Resolva os limites: lim x 1 x^7-1x^5-1.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 1 x^7-1x^5-1. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, que faz parte do estudo de funções e seu comportamento próximo a certos pontos. Para resolver, vamos precisar aplicar o conceito de fatoração de polinômios e simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, observamos que, ao substituir x = 1, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero:
1^7 - 1 = 0 e 1^5 - 1 = 0
Isso nos indica que temos uma indeterminação do tipo 00, o que significa que podemos simplificar a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Lembrando que x^n - 1 pode ser fatorado como (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + cdots + x + 1). Aplicando isso:
Para o numerador:
x^7 - 1 = (x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
Para o denominador:
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^7-1x^5-1 = (x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
Podemos simplificar cancelando o termo (x - 1) que está presente no numerador e no denominador:
x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo x = 1 na expressão simplificada:
1^6 + 1^5 + 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 11^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 = 75

Resposta

O limite é 75.

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