Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio
?
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o retângulo que tem o maior perímetro possível e que está inscrito num círculo com raio de
. Isso envolve geometria e um pouquinho de cálculo para otimizar o perímetro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um retângulo estar inscrito num círculo. Isso quer dizer que todos os vértices do retângulo estão tocando o círculo. Nesse caso, o círculo é a circunferência que envolve o retângulo.
Passo 3
Sabemos que o raio do círculo é
. O diâmetro, que é o dobro do raio, será
. Esse diâmetro será a diagonal do retângulo.
Passo 4
Vamos chamar o comprimento do retângulo de
e a largura de
. Como a diagonal do retângulo é o diâmetro do círculo, podemos usar o Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Queremos maximizar o perímetro do retângulo. A fórmula do perímetro
é:
Nosso objetivo é maximizar
, dado que
.
Passo 6
Para facilitar, vamos tentar expressar
em função de
usando a equação da diagonal:
Agora substituímos na fórmula do perímetro:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Passo 8
Dividindo os dois lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Passo 9
Substituindo
na equação de
:
Resposta
O retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio
é um quadrado com lados medindo
cada.