Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio ?

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o retângulo que tem o maior perímetro possível e que está inscrito num círculo com raio de . Isso envolve geometria e um pouquinho de cálculo para otimizar o perímetro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um retângulo estar inscrito num círculo. Isso quer dizer que todos os vértices do retângulo estão tocando o círculo. Nesse caso, o círculo é a circunferência que envolve o retângulo.

Passo 3

Sabemos que o raio do círculo é . O diâmetro, que é o dobro do raio, será . Esse diâmetro será a diagonal do retângulo.

Passo 4

Vamos chamar o comprimento do retângulo de e a largura de . Como a diagonal do retângulo é o diâmetro do círculo, podemos usar o Teorema de Pitágoras:

Passo 5

Queremos maximizar o perímetro do retângulo. A fórmula do perímetro é:
Nosso objetivo é maximizar , dado que .

Passo 6

Para facilitar, vamos tentar expressar em função de usando a equação da diagonal:
Agora substituímos na fórmula do perímetro:

Passo 7

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando:

Passo 8

Dividindo os dois lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 9

Substituindo na equação de :

Resposta

O retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio é um quadrado com lados medindo cada.

Exercícios relacionados

Mostrar que

tem seu máximo em para todos os números .
Usando o Teorema do Valor Médio, provar que
19.1) ;
19.2) .
Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a funções seguintes tem concavidade para cima ou para baixo. Classifique os pontos críticos.
28.1)
28.3)
28.2)
28.4)
Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
25.1)
25.3)
25.2)
25.4)