Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm ?

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o retângulo que tem o maior perímetro possível e que está inscrito num círculo com raio de 12 cm. Isso envolve geometria e um pouquinho de cálculo para otimizar o perímetro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um retângulo estar inscrito num círculo. Isso quer dizer que todos os vértices do retângulo estão tocando o círculo. Nesse caso, o círculo é a circunferência que envolve o retângulo.

Passo 3

Sabemos que o raio do círculo é 12 cm. O diâmetro, que é o dobro do raio, será . Esse diâmetro será a diagonal do retângulo.

Passo 4

Vamos chamar o comprimento do retângulo de a e a largura de b. Como a diagonal do retângulo é o diâmetro do círculo, podemos usar o Teorema de Pitágoras:

Passo 5

Queremos maximizar o perímetro do retângulo. A fórmula do perímetro P é:
Nosso objetivo é maximizar , dado que .

Passo 6

Para facilitar, vamos tentar expressar b em função de a usando a equação da diagonal:
Agora substituímos na fórmula do perímetro:

Passo 7

Para encontrar o valor de a que maximiza P, vamos derivar P em relação a a e igualar a zero:
Simplificando:

Passo 8

Dividindo os dois lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Passo 9

Substituindo na equação de b:

Resposta

O retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm é um quadrado com lados medindo cada.

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