Encontrar a e b tal que a função f(x) = x^3 + a x^2 + b tenha um extremo relativo no ponto -2,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os valores de e na função de modo que ela tenha um extremo relativo no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas, já que extremos relativos (máximos e mínimos) estão ligados aos pontos onde a derivada da função é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o ponto realmente está na função . Ou seja, quando , deve ser igual a 1. Vamos substituir esses valores na função:
Simplificando:
Essa será a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, para que seja um ponto de extremo relativo, a derivada da função nesse ponto deve ser zero. Vamos encontrar a derivada de :
Em seguida, substituímos na derivada e igualamos a zero:
Simplificando:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
Vamos resolver a segunda equação primeiro para encontrar o valor de :

Passo 5

Com o valor de , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores que satisfazem as condições são e .

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