Determinar o lugar geométrico dos pontos equidistantes aos dois planos
pi1: x-y-z=0 e pi2: x+y+z-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes aos dois planos dados:
pi1: x - y - z = 0 e pi2: x + y + z - 1 = 0
Isso significa que queremos descobrir quais pontos no espaço estão a mesma distância de ambos os planos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo distâncias entre pontos e planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a distância de um ponto (x, y, z) até um plano geral dado por Ax + By + Cz + D = 0. A fórmula da distância é:
d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Vamos aplicar essa fórmula aos dois planos pi1 e pi2.

Passo 3

Para o plano pi1: x - y - z = 0, os coeficientes são A1 = 1, B1 = -1, C1 = -1, e D1 = 0. A distância de um ponto (x, y, z) até pi1 é:
d1 = |x - y - z|raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = |x - y - z|raiz3

Passo 4

Para o plano pi2: x + y + z - 1 = 0, os coeficientes são A2 = 1, B2 = 1, C2 = 1, e D2 = -1. A distância de um ponto (x, y, z) até pi2 é:
d2 = |x + y + z - 1|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |x + y + z - 1|raiz3

Passo 5

Queremos que a distância d1 seja igual à distância d2. Então, igualamos as duas expressões:
|x - y - z|raiz3 = |x + y + z - 1|raiz3
Como os denominadores são iguais e positivos, podemos descartá-los:
|x - y - z| = |x + y + z - 1|

Passo 6

Para remover o valor absoluto, consideramos duas situações possíveis:
  1. Caso 1: x - y - z = x + y + z - 1
  2. Caso 2: x - y - z = -(x + y + z - 1)
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 7

Caso 1:
x - y - z = x + y + z - 1
Subtraindo x de ambos os lados:
-y - z = y + z - 1
Levantando y e z para o lado esquerdo:
- y - z - y - z = -1 -2y - 2z = -1
Dividindo ambos os lados por -2:
y + z = 12
Então, uma das soluções é o plano:
y + z = 12

Passo 8

Caso 2:
x - y - z = - (x + y + z - 1) x - y - z = -x - y - z + 1
Somando x de ambos os lados:
x + x - y - z = - y - z + 1 2x = 1
Dividindo por 2:
x = 12
Então, a outra solução é o plano:
x = 12

Resposta

O lugar geométrico dos pontos equidistantes aos planos pi1 e pi2 consiste em dois planos:
  1. y + z = dfrac12
  2. x = dfrac12

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