Determinar o lugar geométrico dos pontos equidistantes aos dois planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes aos dois planos dados:
Isso significa que queremos descobrir quais pontos no espaço estão a mesma distância de ambos os planos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo distâncias entre pontos e planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a distância de um ponto
até um plano geral dado por
. A fórmula da distância é:
Vamos aplicar essa fórmula aos dois planos
e
.
Passo 3
Para o plano
, os coeficientes são
,
,
, e
. A distância de um ponto
até
é:
Passo 4
Para o plano
, os coeficientes são
,
,
, e
. A distância de um ponto
até
é:
Passo 5
Queremos que a distância
seja igual à distância
. Então, igualamos as duas expressões:
Como os denominadores são iguais e positivos, podemos descartá-los:
Passo 6
Para remover o valor absoluto, consideramos duas situações possíveis:
- Caso 1:
- Caso 2:
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 7
Caso 1:
Subtraindo
de ambos os lados:
Levantando
e
para o lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, uma das soluções é o plano:
Passo 8
Caso 2:
Somando
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Então, a outra solução é o plano:
Resposta
O lugar geométrico dos pontos equidistantes aos planos
e
consiste em dois planos: