Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole juntos! O enunciado pede para colocarmos a equação
na forma canônica da hipérbole. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e identificar os elementos chave da hipérbole, como centro, vértices, focos e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar para facilitar a conclusão do quadrado. Colocamos os termos semelhantes juntos:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
, que é -1:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para os termos de
. Fatoramos o 4:
Passo 6
Substituímos de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Vamos dividir todos os termos por 4 para facilitar a colocação na forma canônica:
Para padronizar, podemos reescrever:
Essa é a forma canônica da hipérbole.
Passo 8
Agora, identificamos os elementos da hipérbole a partir da equação canônica:
Comparando com nossa equação:
Temos:
- Centro:
-
então -
então
Passo 9
Para hipérboles na forma
, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
.
Então, os vértices reais são:
Os vértices imaginários ficariam no eixo
, mas como
está associado ao
, não há vértices imaginários neste caso.
Passo 10
Agora, vamos encontrar os focos. A distância dos focos é dada por:
Como a hipérbole abre verticalmente, os focos estão a
unidades ao longo do eixo
:
Passo 11
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são dadas por:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 12
Para esboçar o gráfico, plotamos o centro
, os vértices
e
, os focos
e
, e desenhamos as assíntotas
e
. A hipérbole abre para cima e para baixo ao redor do centro.
Resposta
A equação da hipérbole na forma canônica é:
- Centro:
- Vértices reais:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e
O esboço do gráfico mostra a hipérbole abrindo verticalmente com o centro em
, vértices em
e
, e assíntotas conforme definido.