Encontre a equação da hipérbole na forma canônica, seu centro, seus vértices (real e imaginários), seus focos, suas assíntotas e faça um esboço do gráfico. -x^2+4 y^2+4 x+8 y-4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole juntos! O enunciado pede para colocarmos a equação -x^2+4 y^2+4 x+8 y-4=0 na forma canônica da hipérbole. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e identificar os elementos chave da hipérbole, como centro, vértices, focos e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de - x^2 + 4x + 4y^2 + 8y - 4 = 0 e :

Passo 3

Agora, vamos reorganizar para facilitar a conclusão do quadrado. Colocamos os termos semelhantes juntos:
- (x^2 - 4x) + 4(y^2 + 2y) = 4

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de - (x^2 - 4x) = - ( x^2 - 4x + 4 - 4 ) = - (x - 2)^2 + 4 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de , que é -1:

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para os termos de 4(y^2 + 2y) = 4( y^2 + 2y + 1 - 1 ) = 4(y + 1)^2 - 4 . Fatoramos o 4:

Passo 6

Substituímos de volta na equação original:
- (x - 2)^2 + 4 + 4(y + 1)^2 - 4 = 4
Simplificando:
- (x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 = 4

Passo 7

Vamos dividir todos os termos por 4 para facilitar a colocação na forma canônica:
- (x - 2)^24 + (y + 1)^21 = 1
Para padronizar, podemos reescrever:
(y + 1)^21 - (x - 2)^24 = 1
Essa é a forma canônica da hipérbole.

Passo 8

Agora, identificamos os elementos da hipérbole a partir da equação canônica:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Comparando com nossa equação:
(y + 1)^21 - (x - 2)^24 = 1
Temos:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 9

Para hipérboles na forma (2, -1 + 1) = (2, 0) e (2, -1 - 1) = (2, -2) , os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo .
Então, os vértices reais são:
Os vértices imaginários ficariam no eixo , mas como está associado ao , não há vértices imaginários neste caso.

Passo 10

Agora, vamos encontrar os focos. A distância dos focos é dada por:
c = raiza^2 + b^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Como a hipérbole abre verticalmente, os focos estão a (2, -1 + raiz5) e (2, -1 - raiz5) unidades ao longo do eixo :

Passo 11

As assíntotas de uma hipérbole na forma y - k = pm ab (x - h) são dadas por:
y + 1 = pm 12 (x - 2)
Substituindo os valores:
y = 12x - 2 e y = -12x + 1
Simplificando:

Passo 12

Para esboçar o gráfico, plotamos o centro , os vértices e , os focos e , e desenhamos as assíntotas e . A hipérbole abre para cima e para baixo ao redor do centro.

Resposta

A equação da hipérbole na forma canônica é:
(y + 1)^21 - (x - 2)^24 = 1
  • Centro:
  • Vértices reais: e
  • Focos: e
  • Assíntotas: e
O esboço do gráfico mostra a hipérbole abrindo verticalmente com o centro em , vértices em e , e assíntotas conforme definido.

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