A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
x^2k-3+y^22 k-10=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se: a equação de uma circunferência;

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem uma equação que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole. Nosso objetivo aqui é descobrir qual o valor de que faz essa equação virar a de uma circunferência. Pra isso, vamos precisar entender as formas das equações dessas curvas e ajustar nossa equação para uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a equação de uma circunferência. Ela é dada por:
x^2 + y^2 = r^2
Perceba que os coeficientes de e são iguais e positivos, e não há denominadores. Isso significa que, para a nossa equação se transformar numa circunferência, os denominadores dos termos e precisam ser iguais e positivos.

Passo 3

Vamos olhar a nossa equação:
x^2k-3+y^22k-10=1
Para que isso seja uma circunferência, precisamos que:
k - 3 = 2k - 10
E, obviamente, que para que os denominadores sejam positivos.

Passo 4

Vamos resolver a equação k - 3 &= 2k - 10 -3 + 10 &= 2k - k 7 &= k :
Então, encontramos que .

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse valor de k - 3 = 7 - 3 = 4 > 0 2k - 10 = 2 times 7 - 10 = 14 - 10 = 4 > 0 satisfaz a condição de que os denominadores são positivos:
Tudo certo!

Resposta

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