Determinar onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
g(x) = x + x/(x-1).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar onde a função é crescente ou decrescente. Esse problema está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Temos:
Para facilitar a derivação, vamos combinar os termos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usaremos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aplicando isso à nossa função:
Calculamos as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a derivada é positiva ou negativa. O denominador é sempre positivo, exceto quando , onde a função não está definida. Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador .
Vamos resolver :
Esses valores dividem a reta real em três intervalos: , e .

Passo 5

Vamos verificar o sinal de em cada intervalo:
  • Para : escolha
  • Para : escolha
  • Para : escolha

Passo 6

Com base nos cálculos, a derivada é positiva quando ou , e negativa quando . Lembrando que não está no domínio da função.

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e é decrescente no intervalo .

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