Determinar onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar onde a função
é crescente ou decrescente. Esse problema está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Temos:
Para facilitar a derivação, vamos combinar os termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usaremos a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aplicando isso à nossa função:
Calculamos as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a derivada
é positiva ou negativa. O denominador
é sempre positivo, exceto quando
, onde a função não está definida. Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador
.
Vamos resolver
:
Esses valores dividem a reta real em três intervalos:
,
e
.
Passo 5
Vamos verificar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: escolha - Para
: escolha - Para
: escolha
Passo 6
Com base nos cálculos, a derivada
é positiva quando
ou
, e negativa quando
. Lembrando que
não está no domínio da função.
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e é decrescente no intervalo
.