Se os pontos de inflexão são aqueles onde a função muda a concavidade, apresente os pontos de inflexão das funções abaixo, descrevendo onde a concavidade é para baixo e para cima.
f(x) = x / (x - 1)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pontos de inflexão da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas para analisar a concavidade da função. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos de inflexão são aqueles onde a concavidade da função muda, ou seja, a função passa de côncava para cima para côncava para baixo, ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, precisamos calcular a segunda derivada da função e identificar onde ela muda de sinal.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de . A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Diferenciando :
Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Vamos encontrar onde ou onde a segunda derivada não existe. Observando , vemos que ela nunca é zero, mas é indefinida em . Contudo, precisamos verificar a mudança de concavidade ao redor desse ponto.

Passo 6

Analisando o sinal de :
  • Para , é positivo, então . A concavidade é para cima.
  • Para , também é positivo, então . A concavidade continua para cima.
Como a concavidade não muda de sinal em nenhum ponto, não há pontos de inflexão na função .

Resposta

A função não possui pontos de inflexão, e sua concavidade é para cima em todo o domínio onde a função está definida.

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