Determinar um operador linear
cuja imagem é gerada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar um operador linear
cuja imagem seja gerada pelos vetores
e
. Isso significa que queremos construir uma transformação linear que, quando aplicada a qualquer vetor de
, o resultado estará no espaço gerado por esses dois vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores lineares, imagens de matrizes e como representar esses operadores usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que todo operador linear
pode ser representado por uma matriz
de tamanho
. Essa matriz transforma qualquer vetor
em outro vetor
através da multiplicação matricial:
Nossa tarefa é construir essa matriz
de forma que a imagem de
seja exatamente o espaço gerado pelos vetores
e
.
Passo 3
A imagem de um operador linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando o operador a vetores de entrada. Para que a imagem de
seja gerada por
e
, precisamos que essas duas colunas estejam na matriz
. Além disso, para garantir que a imagem não inclua mais nada além desse espaço gerado, podemos colocar uma terceira coluna zero na matriz. Assim, qualquer combinação linear das colunas de
resultará em um vetor no espaço gerado por
e
.
Passo 4
Vamos construir a matriz
com as duas colunas fornecidas e uma terceira coluna de zeros:
Aqui, as duas primeiras colunas são os vetores que geram a imagem, e a terceira coluna é zero para não adicionar nenhuma outra direção ao espaço imagem.
Resposta
Então, um operador linear que satisfaz as condições do enunciado é representado pela matriz: