Determine os subespaços do gerados pelos seguintes conjuntos de vetores:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Álgebra Linear! A questão pede para a gente descobrir quais subespaços de são gerados pelo conjunto de vetores . Para isso, vamos precisar entender conceitos como geração de subespaços, combinação linear e espaço gerado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores gerar um subespaço. Quando dizemos que um conjunto de vetores gera um subespaço, estamos falando do conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, todas as combinações possíveis onde cada vetor do conjunto é multiplicado por um escalar (um número real) e depois somados entre si.

Passo 3

Então, para o nosso conjunto , queremos encontrar todos os vetores que podem ser formados da seguinte maneira:
Onde e são números reais.

Passo 4

Vamos expandir essa combinação linear:
Isso significa que qualquer vetor no subespaço gerado por pode ser escrito dessa forma, onde e variam sobre todos os reais.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e vamos ver o posto dessa matriz.
Vamos calcular o determinante das duas primeiras linhas para ver se é diferente de zero:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Isso significa que eles geram um plano em .

Passo 6

Portanto, o subespaço gerado pelo conjunto é um plano que passa pela origem em e .

Resposta

O subespaço gerado pelo conjunto é um plano em composto por todas as combinações lineares dos vetores e .

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d)
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