Determinar o perímetro do triângulo que verifica as seguintes condições: pertence ao eixo pertence ao eixo ; a reta tem equação ; e a reta tem equação .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Queremos encontrar o perímetro do triângulo que tem algumas condições específicas:
O ponto está no eixo .
O ponto está no eixo .
A reta que passa por e tem a equação .
A reta que passa por e tem a equação .
Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre geometria analítica, especialmente como encontrar pontos de interseção de retas e calcular distâncias entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as coordenadas dos pontos , e .
Como está no eixo , sua coordenada é zero. Vamos chamar de .
Como está no eixo , sua coordenada é zero. Vamos chamar de .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que está na interseção das retas e .
A reta tem a equação , que podemos reescrever como .
A reta tem a equação . Substituindo nessa equação:
Então, . Portanto, o ponto é .
Passo 4
Agora que temos , vamos encontrar . Sabemos que está na reta , cuja equação é . Como :
Portanto, .
Passo 5
Para encontrar , usamos a reta que tem a equação . Sabemos que está no eixo , então :
Portanto, .
Passo 6
Agora que temos as coordenadas dos três pontos:
Vamos calcular as distâncias dos lados do triângulo para encontrar o perímetro.
Passo 7
Calculando a distância entre e :
Calculando a distância entre e :
Calculando a distância entre e :
Resposta
Somando as três distâncias, o perímetro do triângulo é: