Determinar alpha de modo que P=(3, alpha) seja ponto do interior do triângulo definido pelas retas 2 x-y=0, x+y=0 e 7 x+y-36=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão pede para encontrarmos o valor de de forma que o ponto esteja dentro de um triângulo formado pelas retas , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre interseção de retas e determinação de pontos dentro de figuras geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas retas se encontram para formar os vértices do triângulo. Isso significa resolver pares de equações para encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Vamos resolver as equações e :
  • Da primeira equação, temos .
  • Substituindo na segunda equação: .
  • Então, .
Portanto, um vértice do triângulo é .

Passo 4

Agora, vamos resolver as equações e :
  • Da primeira equação, .
  • Substituindo na segunda equação: .
  • Então, .
Assim, outro vértice é .

Passo 5

Por fim, vamos resolver as equações e :
  • Da primeira equação, .
  • Substituindo na segunda equação: .
  • Então, .
Portanto, o terceiro vértice é .

Passo 6

Agora que temos os três vértices do triângulo , e , precisamos verificar se o ponto está dentro desse triângulo.

Passo 7

Uma forma de fazer isso é calcular as áreas dos três triângulos formados pelo ponto com cada par de vértices do triângulo original e verificar se a soma dessas áreas é igual à área do triângulo original. Se for igual, o ponto está dentro do triângulo.

Passo 8

Vamos primeiro calcular a área do triângulo Área = 12 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| . A fórmula para a área de um triângulo com vértices ÁreaABC = 12 |0(8 - (-6)) + 4(-6 - 0) + 6(0 - 8)| = 12 |0 - 24 - 48| = 12 times 72 = 36 , e é:
Á
Aplicando para , e :
Á
Então, a área do triângulo é 36 unidades quadradas.

Passo 9

Agora, vamos calcular as áreas dos triângulos ÁreaPAB = 12 |3(0 - 8) + 0(8 - alpha) + 4(alpha - 0)| = 12 |-24 + 0 + 4alpha| = 12 |4alpha - 24| , e .
Primeiro, para :
Á

Passo 10

Para ÁreaPBC = 12 |3(8 - (-6)) + 4(-6 - alpha) + 6(alpha - 8)| = 12 |3 times 14 + 4(-6 - alpha) + 6(alpha - 8)| = 12 |42 - 24 - 4alpha + 6alpha - 48| = 12 |2alpha - 30| :
Á

Passo 11

Para ÁreaPCA = 12 |3(-6 - 0) + 6(0 - alpha) + 0(alpha - (-6))| = 12 |-18 - 6alpha + 0| = 12 |-6alpha - 18| = 12 | -6alpha - 18 | :
Á

Passo 12

A soma das áreas 12 |4alpha - 24| + 12 |2alpha - 30| + 12 | -6alpha - 18 | = 36 ÁÁÁ deve ser igual à área total do triângulo |4alpha - 24| + |2alpha - 30| + |-6alpha - 18| = 72 , que é 36. Então:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 13

Agora, vamos resolver essa equação envolvendo valores absolutos. Primeiro, encontramos os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal:
Isso divide a linha dos números em intervalos: , , e . Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 14

Intervalo 1: |4alpha - 24| = 24 - 4alpha |2alpha - 30| = 30 - 2alpha |-6alpha - 18| = 6alpha + 18
24 - 4alpha + 30 - 2alpha + 6alpha + 18 = 72 72 = 72
Somando:
Isso significa que qualquer satisfaz a equação, mas precisamos verificar se essa condição coloca o ponto dentro do triângulo.

Passo 15

Intervalo 2: |4alpha - 24| = 24 - 4alpha |2alpha - 30| = 30 - 2alpha |-6alpha - 18| = 6alpha + 18
24 - 4alpha + 30 - 2alpha + 6alpha + 18 = 72 72 = 72
Somando:
Novamente, qualquer nesse intervalo satisfaz a equação.

Passo 16

Intervalo 3: |4alpha - 24| = 4alpha - 24 |2alpha - 30| = 30 - 2alpha |-6alpha - 18| = 6alpha + 18
4alpha - 24 + 30 - 2alpha + 6alpha + 18 = 72 8alpha + 24 = 72 8alpha = 48 alpha = 6
Somando:
Como não está no intervalo , não há solução válida aqui.

Passo 17

Intervalo 4: |4alpha - 24| = 4alpha - 24 |2alpha - 30| = 2alpha - 30 |-6alpha - 18| = 6alpha + 18
4alpha - 24 + 2alpha - 30 + 6alpha + 18 = 72 12alpha - 36 = 72 12alpha = 108 alpha = 9
Somando:
Mas , então não está no intervalo . Nenhuma solução adicional aqui.

Resposta

Para que o ponto esteja dentro do triângulo definido pelas retas dadas, o valor de deve satisfazer .

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Determinar o perímetro do triângulo A B C que verifica as seguintes condições: A pertence ao eixo x ; B pertence ao eixo Y; a reta over<=ftrightarrowB C tem equação x-y=0; e a reta over<=ftrightarrowA C tem equação x+2 y-3=0.
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