Determinar de modo que seja ponto do interior do triângulo definido pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão pede para encontrarmos o valor de de forma que o ponto esteja dentro de um triângulo formado pelas retas , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre interseção de retas e determinação de pontos dentro de figuras geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas retas se encontram para formar os vértices do triângulo. Isso significa resolver pares de equações para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Vamos resolver as equações e :
Da primeira equação, temos .
Substituindo na segunda equação: .
Então, .
Portanto, um vértice do triângulo é .
Passo 4
Agora, vamos resolver as equações e :
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação: .
Então, .
Assim, outro vértice é .
Passo 5
Por fim, vamos resolver as equações e :
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação: .
Então, .
Portanto, o terceiro vértice é .
Passo 6
Agora que temos os três vértices do triângulo , e , precisamos verificar se o ponto está dentro desse triângulo.
Passo 7
Uma forma de fazer isso é calcular as áreas dos três triângulos formados pelo ponto com cada par de vértices do triângulo original e verificar se a soma dessas áreas é igual à área do triângulo original. Se for igual, o ponto está dentro do triângulo.
Passo 8
Vamos primeiro calcular a área do triângulo . A fórmula para a área de um triângulo com vértices , e é:
Aplicando para , e :
Então, a área do triângulo é 36 unidades quadradas.
Passo 9
Agora, vamos calcular as áreas dos triângulos , e .
Primeiro, para :
Passo 10
Para :
Passo 11
Para :
Passo 12
A soma das áreas deve ser igual à área total do triângulo , que é 36. Então:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 13
Agora, vamos resolver essa equação envolvendo valores absolutos. Primeiro, encontramos os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal:
Isso divide a linha dos números em intervalos: , , e . Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 14
Intervalo 1:
Somando:
Isso significa que qualquer satisfaz a equação, mas precisamos verificar se essa condição coloca o ponto dentro do triângulo.
Passo 15
Intervalo 2:
Somando:
Novamente, qualquer nesse intervalo satisfaz a equação.
Passo 16
Intervalo 3:
Somando:
Como não está no intervalo , não há solução válida aqui.
Passo 17
Intervalo 4:
Somando:
Mas , então não está no intervalo . Nenhuma solução adicional aqui.
Resposta
Para que o ponto esteja dentro do triângulo definido pelas retas dadas, o valor de deve satisfazer .