Qual é a equação da reta que passa por , intercepta em , intercepta em , de modo que é ponto médio de .
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica que envolve encontrar a equação de uma reta. A questão nos dá um ponto , duas retas chamadas e , e diz que é o ponto médio do segmento de reta , onde e são os pontos de interseção da reta que queremos encontrar com e , respectivamente. Vamos precisar usar conceitos de equação da reta, ponto médio e interseção de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a reta que estamos procurando de . Essa reta passa pelo ponto e intercepta as retas e nos pontos e . Como é o ponto médio de , podemos usar a fórmula do ponto médio para relacionar as coordenadas de e com as de .
Passo 3
A fórmula do ponto médio diz que, se Px = Ax + Bx2 e Py = Ay + By2 é o ponto médio de 3 = Ax + Bx2 e 1 = Ay + By2 , então:
Ax + Bx = 6 e Ay + By = 2
Substituindo , temos:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as coordenadas de e . Como está na reta , podemos escrever . Similarmente, está na reta , então .
Passo 5
Vamos substituir xA + (-5yB) = 6 e 3xA + yB = 2 e nas equações e :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e .