Qual é a equação da reta que passa por P=(3,1), intercepta r: 3 x-y=0 em A, intercepta s: x+5 y=0 em B, de modo que P é ponto médio de A B.

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica que envolve encontrar a equação de uma reta. A questão nos dá um ponto , duas retas chamadas e , e diz que é o ponto médio do segmento de reta , onde e são os pontos de interseção da reta que queremos encontrar com e , respectivamente. Vamos precisar usar conceitos de equação da reta, ponto médio e interseção de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a reta que estamos procurando de . Essa reta passa pelo ponto e intercepta as retas e nos pontos e . Como é o ponto médio de , podemos usar a fórmula do ponto médio para relacionar as coordenadas de e com as de .

Passo 3

A fórmula do ponto médio diz que, se Px = Ax + Bx2 e Py = Ay + By2 é o ponto médio de 3 = Ax + Bx2 e 1 = Ay + By2 , então:
Ax + Bx = 6 e Ay + By = 2
Substituindo , temos:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as coordenadas de e . Como está na reta , podemos escrever . Similarmente, está na reta , então .

Passo 5

Vamos substituir xA + (-5yB) = 6 e 3xA + yB = 2 e nas equações e :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e .

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Substituindo na primeira: .
  3. Então, .
  4. E .
  5. Logo, tem coordenadas .

Resposta

A equação da reta é .

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