Determinar o polinômio interpolador, pelo método de Lagrange, dos pontos:
0 -1 6
1 0 1
2 1 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando o método de Lagrange. A gente tem três pontos dados e queremos encontrar um polinômio que passe exatamente por eles. Para isso, vamos usar a teoria da interpolação de Lagrange, que nos ajuda a construir esse polinômio de forma sistemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange. Ele é construído como a soma de termos chamados de polinômios de base de Lagrange, que garantem que o polinômio final passe por todos os pontos dados. A fórmula geral é:
Onde cada é definido por:

Passo 3

No nosso caso, temos três pontos: , e . Vamos identificar cada ponto com um índice :
  • : ,
  • : ,
  • : ,
Vamos calcular cada individualmente.

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, :
E por último, :

Passo 5

Agora que temos os polinômios de base, vamos montar o polinômio interpolador :
Substituindo os valores:
Simplificando:
Desenvolvendo as expressões:

Resposta

O polinômio interpolador pelo método de Lagrange é:

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Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss (método direto):


No intervalo , utilizando como critério de parada , sendo , encontrar a raiz de: (preferencialmente através do método da bisseção).
Seja com zero no intervalo . Utilize o método da posição falsa para encontrar a aproximação da raiz de , com precisão de .