No intervalo [1, 2], utilizando como critério de parada f(xk+1) <= epsilon, sendo epsilon = 10^(-3), encontrar a raiz de: f(x) = (x-2)² - ln(x) = 0 (preferencialmente através do método da bisseção).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função no intervalo [1, 2]. Vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, vamos parar quando o valor de for menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função tem pelo menos uma raiz no intervalo [1, 2]. Para isso, verificamos os valores de nas extremidades:
Como e , pela Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz entre 1 e 2.

Passo 3

Agora, vamos começar o método da bisseção. A ideia é dividir o intervalo ao meio e verificar em qual metade a raiz está, repetindo isso até atingir a precisão desejada.
Primeiro, calculamos o ponto médio do intervalo [a, b]:
Inicialmente, e , então:

Passo 4

Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [1, 1,5]. Atualizamos .

Passo 5

Calculamos o novo ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [1,25, 1,5]. Atualizamos .

Passo 6

Calculamos o próximo ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [1,375, 1,5]. Atualizamos .

Passo 7

Calculamos o próximo ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [1,375, 1,4375]. Atualizamos .

Passo 8

Calculamos o próximo ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [1,40625, 1,4375]. Atualizamos .

Passo 9

Calculamos o próximo ponto médio:
Calculamos :
Como e , a raiz está no intervalo [1,40625, 1,421875]. Atualizamos .

Passo 10

Calculamos o próximo ponto médio:
Calculamos :
Como que é menor que , atingimos o critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo [1, 2] é .

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