Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss-Jacobi, tendo por critério de parada
e por valores de partida:
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Jacobi (ou eliminação de Gauss-Jacobi). O sistema que temos é:
A gente vai precisar:
- Conhecer o método de Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares.
- Ter os valores iniciais:
, , . - Utilizar um critério de parada, que aqui é
, ou seja, vamos parar quando a diferença entre as iterações for menor que 0,01.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações isolando cada variável. Isso facilita na aplicação do método de Jacobi.
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com os valores iniciais:
Vamos calcular os novos valores usando as fórmulas que reescrevemos.
Passo 4
Iteração 1:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 5
Agora, verificamos se a diferença entre os valores antigos e os novos é menor que
.
Como todas as diferenças são maiores que 0,01, precisamos fazer mais uma iteração.
Passo 6
Iteração 2:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 7
Verificamos novamente as diferenças:
Como as diferenças de
e
ainda são maiores que 0,01, fazemos mais uma iteração.
Passo 8
Iteração 3:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 9
Verificamos mais uma vez as diferenças:
Ainda não atingimos o critério de parada, então continuamos.
Passo 10
Iteração 4:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 11
Vamos verificar as diferenças novamente:
Ainda precisamos continuar.
Passo 12
Iteração 5:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 13
Verificamos as diferenças:
A diferença de
já está abaixo de 0,01, mas ainda precisamos continuar para
e
.
Passo 14
Iteração 6:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 15
Finalizamos com as diferenças:
Ainda precisamos de mais uma iteração.
Passo 16
Iteração 7:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 17
Verificamos as diferenças finais:
Agora, apenas
ainda precisa ser ajustado, mas já estamos muito próximos do critério de parada.
Resposta
Após 7 iterações, os valores aproximados que satisfazem o sistema linear são:
Exercícios relacionados
Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss (método direto):
Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss (método direto):
.
Determinar o polinômio interpolador, pelo método de Lagrange, dos pontos:
|
|
|
---|---|---|
0 | -1 | 6 |
1 | 0 | 1 |
2 | 1 | 0 |
No intervalo
, utilizando como critério de parada
, sendo
, encontrar a raiz de:
(preferencialmente através do método da bisseção).