Resolver o sistema linear pelo método de eliminação de Gauss-Jacobi, tendo por critério de parada ε = 0,01 e por valores de partida: x^0 = -1,8 ; x^0 = 5,5 ; x^0 = 7,3.
6 x1 + 3 x2 + x3 = 10
4 x1 + 9 x2 - 3 x3 = 16
x1 - x2 + 3 x3 = 14

Passo 1

Então, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Jacobi (ou eliminação de Gauss-Jacobi). O sistema que temos é:
A gente vai precisar:
  • Conhecer o método de Jacobi, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares.
  • Ter os valores iniciais: , , .
  • Utilizar um critério de parada, que aqui é , ou seja, vamos parar quando a diferença entre as iterações for menor que 0,01.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações isolando cada variável. Isso facilita na aplicação do método de Jacobi.
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da terceira equação:

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com os valores iniciais:
Vamos calcular os novos valores usando as fórmulas que reescrevemos.

Passo 4

Iteração 1:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 5

Agora, verificamos se a diferença entre os valores antigos e os novos é menor que .
Como todas as diferenças são maiores que 0,01, precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 6

Iteração 2:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 7

Verificamos novamente as diferenças:
Como as diferenças de e ainda são maiores que 0,01, fazemos mais uma iteração.

Passo 8

Iteração 3:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 9

Verificamos mais uma vez as diferenças:
Ainda não atingimos o critério de parada, então continuamos.

Passo 10

Iteração 4:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 11

Vamos verificar as diferenças novamente:
Ainda precisamos continuar.

Passo 12

Iteração 5:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 13

Verificamos as diferenças:
A diferença de já está abaixo de 0,01, mas ainda precisamos continuar para e .

Passo 14

Iteração 6:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 15

Finalizamos com as diferenças:
Ainda precisamos de mais uma iteração.

Passo 16

Iteração 7:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 17

Verificamos as diferenças finais:
Agora, apenas ainda precisa ser ajustado, mas já estamos muito próximos do critério de parada.

Resposta

Após 7 iterações, os valores aproximados que satisfazem o sistema linear são:

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